Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln

Ist eine quadratischen Funktion in der allgemeinen Form gegeben und man möchte sie in die Scheitelpunktform umwandeln, so geht man wie folgt vor:

Eine quadratische Funktion ist in der allgemeinen Form \(f(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c\) gegeben.
Ablesen der Parameter \(a, b\) und \(c\).
Berechnen von \(w=-\frac{b}{2a}\).
Berechnen von \(s=c-\frac{b^2}{4a}\).
Scheitelpunktform hinschreiben: \(f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\)

Wie sieht die Scheitelpunktform der Funktion \(f(x)=3x^2+6x+1\) aus?

Es ist \(a=3\), \(b=6\) und \(c=1\).
Damit können wir \(w=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 3}=-1\) und \(s=c-\frac{b^2}{4a}=1-\frac{6^2}{4\cdot 3}=1-\frac{36}{12}=-2\) berechnen.
Die Scheitelpunktform lautet \(f(x)=3\cdot (x+1)^2-2\).

Wie lautet der Scheitelpunkt der Funktion \(f(x)=-2x^2+8x-1\) ?

Es ist \(a=-2\), \(b=8\) und \(c=-1\).
Damit können wir \(w=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot (-2)}=2\) und \(s=c-\frac{b^2}{4a}=-1-\frac{8^2}{4\cdot (-2)}=7\) berechnen.
Der Scheitelpunkt lautet \(\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}\).

Es gibt auch einen interaktiven allgemeine Form in Scheitelpunktform Rechner.

Herleitung der Umformung

Wir gehen von der gesuchten Form aus und formen sie in die allgemeine Form um. \[f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\] \[f(x)=a\cdot (x^2-2xw+w^2) + s\] \[f(x)=ax^2-2axw+aw^2+s\] \[f(x)=a\cdot x^2 + \color{blue}{(-2aw)}\cdot x+\color{green}{(aw^2+s)}\] \[f(x)=a\cdot x^2 + \color{blue}{b}\cdot x+\color{green}{c}\] Damit gilt: \[b=-2aw\] und \[c=aw^2+s\] Durch Umformen von \(b=-2aw\) erhält man \[w=-\frac{b}{2a}\] Durch Einsetzen und Umformen erhält man \[s=c-\frac{b^2}{4a}\]

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