Empirische Varianz und Standardabweichung

Die empirische Varianz sowie auch die empirische Standardabweichung beschreiben jeweils die Streuung einer Datenreihe. Beide geben Information darüber, wie die Werte der Datenreihe um das arithmetische Mittel verteilt bzw. verstreut sind.

Die empirische Varianz einer Datenreihe \({x_1,x_2,x_3,...,x_n}\) ist durch \[s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\] gegeben.

Dabei ist \(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\) das arithmetische Mittel.

Die empirische Standardabweichung ist die Wurzel aus der empirischen Varianz \[s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 }\]

Beispiele

Wie lautet die empirische Standardabweichung der Datenreihe \(1, 2, 3, 1, 3\) ?

Das arithmetische Mittel lautet \(\bar{x}=\frac{1}{5}\cdot (1+2+3+1+3)=2\). Die empirische Varianz lautet \[s^2= \frac{1}{5-1}\bigg( (1-\bar{x})^2 +(2-\bar{x})^2 +(3-\bar{x})^2 +(1-\bar{x})^2 +(3-\bar{x})^2\bigg) =1\] Die empirische Standardabweichung lautet \[s=\sqrt{s^2} =\sqrt{1} =1\]

Wie lautet die empirische Standardabweichung der Datenreihe \(1, 4, 5, 6\) ?

Das arithmetische Mittel lautet \(\bar{x} = \frac{1}{4}\cdot (1+4+5+6)=4\). Die empirische Varianz lautet \[s^2= \frac{1}{4-1}\bigg( (1-\bar{x})^2 +(4-\bar{x})^2 +(5-\bar{x})^2 +(6-\bar{x})^2\bigg) =\frac{14}{3}\] Die empirische Standardabweichung lautet \[s=\sqrt{s^2} =\sqrt{\frac{14}{3}} \approx 2{,}16\]

Zu den interaktiven Aufgaben → Empirische Varianz und Standardabweichung - Übungsaufgaben