Funktion bzw. Abbildung

Eine mathematische Funktion bzw. Abbildung ist eine Vorschrift, die jedem Element aus einer Menge genau ein Element aus einer anderen Menge zuweist.

Die mathematische Notation ist die folgende: \[f: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{B}\] \[x\mapsto y=f(x)\] Dabei versteht/liest man das Ganze so: Die Funktion \(f\) ist eine Vorschrift, die Elemente der Menge \(\mathbb{D}\) Elemente der Menge \(\mathbb{B}\) zuteilen (Dabei darf ein einzelnes Element aus \(\mathbb{D}\) höchstens einem Element aus \(\mathbb{B}\) zugewiesen werden.). Die Menge \(\mathbb{D}\) heißt Grundmenge und die Menge \(\mathbb{B}\) heißt Zielmenge oder auch Wertevorrat.

Nun kann es sein, dass es für einige Elemente aus der Grundmenge keine Zuweisung durch die Funktion gibt. Die Menge der Elemente aus der Grundmenge, für die es eine Zuweisung gibt, nennt man Definitionsmenge oder auch Definitionsbereich.
Ähnliches kommt für die Zielmenge vor. Alle Elemente aus der Zielmenge, auf die mindestens ein Element aus der Definitionsmenge zugewiesen wird, nennt man Bild, Bildmenge, Bildbereich, Wertemenge oder Wertebereich.

In der zweiten Zeile ist mit \(x\) ein beliebiges Element aus der Menge \(\mathbb{D}\) gemeint. Der Ausdruck \(y=f(x)\) ist die Zuweisungsvorschrift oder auch Abbildungsvorschrift. Mit \(y\) ist ein Element aus der Menge \(\mathbb{B}\) gemeint und \(f(x)\) bedeutet Funktion von x.

Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Es sind die Mengen \(\mathbb{D}=\{1;2;3;5\}\) und \(\mathbb{B}=\{6;7;8;9\}\) gegeben.
Die Funktion \(f\) ist die Vorschrift, dass \(1\mapsto 7\), \(2\mapsto 6\) und \(3\mapsto 9\) zugewiesen wird.
Was ist die Grundmenge? Was ist die Zielmenge? Was ist die Definitionsmenge? Was ist die Bildmenge?

Die Menge \(\mathbb{D}=\{1;2;3;5\}\) ist die Grundmenge.
Die Menge \(\mathbb{B}=\{6;7;8;9\}\) ist die Zielmenge.
Für die Zahl 5 gibt es keine Abbildungsvorschrift, daher ist sie in der Definitionsmenge nicht enthalten. Die Definitionsmenge lautet \(\{1;2;3\}\).
Auf die Zahl 8 wird keine einzige Zahl zugewiesen, also ist sie in der Bildmenge nicht enthalten. Die Bildmenge lautet \(\{6;7;9\}\).

Wir haben die Mengen \(\mathbb{D}=\{1;2;3;4\}\) und \(\mathbb{B}=\{2;4;6;8\}\) gegeben. Sei die Funktion \(f\) die Vorschrift, jede Zahl zu verdoppeln. Man könnte aufwendig alle einzelnen Abbildungen hinschreiben: \(1\mapsto 2\), \(2\mapsto 4\), \(3\mapsto 6\) und \(4\mapsto 8\). Oder man schreibt kurz und bündig \(x\mapsto y=2x\), also \(f(x)=2x\). Ein beliebiges Element \(x\) aus der Menge \(\mathbb{D}\) wird verdoppelt, daher \(2x\). Das Ganze schreibt man \[f: \{1;2;3;4\}\rightarrow \{2;4;6;8\}\] \[x\mapsto y=2x\]

Wir haben die Mengen \(\mathbb{D}=\{1;2;3;4;...\}=\mathbb{N}\) und \(\mathbb{B}=\mathbb{Q}\) gegeben. Sei die Funktion \(f\) die Vorschrift, jede Zahl zu invertieren (= Eins durch die Zahl). Dann kann man schreiben \(f(x)=\frac{1}{x}\). Das Ganze schreibt man \[f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}\] \[x\mapsto y=\frac{1}{x}\]

Zu den interaktiven Aufgaben → Funktion - Übungsaufgaben

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