Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind Funktionen, die als Division bzw. Bruch zweier Polynomfunktionen geschrieben werden können.

Allgemein schreibt man eine gebrochenrationale Funktion als \[f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\] wobei die beiden Funktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) jeweils Polynomfunktionen bzw. ganzrationale Funktionen sind.

Wir nennen \(g(x)\) das Zählerpolynom und \(h(x)\) das Nennerpolynom.
Ist der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms, so nennt man die Funktion echt gebrochenrationale Funktion.
Ist der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms, so nennt man die Funktion unecht gebrochenrationale Funktion.

Aufgaben mit Lösungen

Ist die Funktion \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}\) ist eine echt oder unecht gebrochenrationale Funktion?

Das Zählerpolynom lautet \(g(x)=x+1\) und das Nennerpolynom lautet \(h(x)=x^2+1\).
Der Grad des Zählerpolynoms ist 1. Der Grad des Nennerpolynoms ist 2.
Damit handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.

Ist die Funktion \(f(x)=\frac{x^3-x+1}{x^2+4}\) ist eine echt oder unecht gebrochenrationale Funktion?

Das Zählerpolynom lautet \(g(x)=x^3-x+1\) und das Nennerpolynom lautet \(h(x)=x^2+4\).
Der Grad des Zählerpolynoms ist 3. Der Grad des Nennerpolynoms ist 2.
Damit handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.

Definitionslücken

Was passiert, wenn an einer Stelle das Nennerpolynom Null ist? - Dann hat man eine Division durch Null, was nicht erlaubt ist. Daher haben gebrochenrationale Funktionen für gewöhnlich Lücken im Definitionsbereich. Und zwar genau dort, wo das Nennerpolynom eine Nullstelle hat.

Wo hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}\) Definitionslücken?

Das Nennerpolynom \(h(x)=x^2+1\) hat an den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\) Nullstellen. Damit hat dort die gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) Definitionslücken.

Zu den interaktiven Aufgaben → Gebrochenrationale Funktionen - Übungsaufgaben