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Normalapproximation einer Binomialverteilung
Eine Normalapproximation einer Binomialverteilung ist die näherungsweise Beschreibung einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung. So eine Näherung gilt als sinnvoll wenn die Varianz \(\sigma^2 = np(1-p) \geq 9\) erfüllt ist. Ein anderer, etwas schwächerer Richtwert ist, dass \(np\geq 5\) und \(n(1-p)\geq 5\) erfüllt sein muss.
Die Normalverteilung ist durch die Funktion
\[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma ^2}(x-\mu)^2}\]
definiert. Um von der Binomialverteilung zur Normalverteilung zu wechseln, muss man den Erwartungswert durch \(\mu = np\) ersetzen und die Varianz durch \(\sigma^2 = npq\) ersetzen.
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2npq\pi}}e^{-\frac{1}{2npq}(x-np)^2}\]
Beispiele und Aufgaben mit Lösung
Jemand wirft 20 Mal eine gewöhnliche Münze. Die Wahrscheinlichkeiten wie oft dabei 'Zahl' geworfen wird, kann durch eine Binomialverteilung beschrieben werden: \(p(k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\) gibt die Wahrscheinlichkeit an \(k\)-Mal 'Zahl' zu werfen. Es ist \(p=\frac{1}{2}\) die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf 'Zahl' geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch folgende Grafik dargestellt werden:
Wie lautet die Normalapproximation dieser Binomialverteilung?
Die folgende Grafik zeigt die Normalapproximation dieser Binomialverteilung:
Bereits bei \(n=20\) ergeben sich beim Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) sehr große Zahlen!
Beispielsweise ist \(\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{2432902008176640000}{13168189440000}=184756\).
Hätten wir 100 Mal geworfen, wäre \(n=100\) und \(100!\) ist eine Zahl mit über 150 Stellen vor dem Komma! Das können viele Taschenrechner nicht mehr berechnen!
Um Anwendungen/Berechnungen einer Binomialverteilung bei größeren Zahlen \(n\) leichter handhaben zu können, kann man sie durch eine Normalverteilung näherungsweise berechnen.
In der folgenden Animation ist der Übergang von einer Binomialverteilung zur entsprechenden Normalverteilung dargestellt:
Die Kurve die sich dabei ergibt, ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung.
