Integration von Partialbrüchen

Bei der Integration von Partialbrüchen geht es um die Integration gebrochenrationaler Funktionen. Das sind Funktionen die aus einer Division zweier Polynomfunktionen besteht. Wir sehen uns ein paar Typen von Partialbrüchen an. Dabei sind \(A\) und \(a\) beliebige reelle Zahlen. Es gilt \[\int \frac{A}{x-a}dx=A\cdot \ln |x-a| + c.\] Für natürliche Zahlen \(n>1\) gilt \[\int \frac{A}{(x-a)^n}dx=\frac{-A}{n-1}(x-a)^{-(n-1)}+c.\]

Wie lautet \(\int \frac{3}{x-4}dx\) ?

\[\int \frac{A}{x-a}dx=A\cdot \ln |x-a| + c.\] Es ist \(A=3\) und \(a=4\). Einsetzen ergibt \[\int \frac{3}{x-4}dx=3\cdot \ln |x-4| + c.\]

Wie lautet \(\int \frac{1}{(x+1)^2}dx\) ?

\[\int \frac{A}{(x-a)^n}dx =\frac{-A}{n-1}(x-a)^{-(n-1)}+c.\] Es ist \(A=1\), \(a=-1\) und \(n=2\). Einsetzen ergibt \[\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+c.\]

Zu den interaktiven Aufgaben → Integration von Partialbrüchen - Übungsaufgaben

Weitere Integralregeln sind

Faktorregel der Integration
Summenregel der Integration
Potenzregel der Integration
Partielle Integration
Substitutionsregel