Tangentengleichung Bestimmen

Wir werden in diesem Artikel die Vorgehensweise ansehen, wie man eine Tangentengleichung einer differenzierbaren Funktion berechnet.

Dazu sollte man das Ableiten von Funktionen und das Lösen von Gleichungen beherrschen.

Tangentengleichung \(y=m\cdot x+t\) der Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) bestimmen

Funktion ableiten: \(f'(x)\) bestimmen
Steigung \(m\) der Tangente berechnen: Dazu den Wert \(x_0\) in \(f'(x)\) einsetzen: \(m=f'(x_0)\)
Den Wert \(y_0=f(x_0)\) berechnen
Gleichung aufstellen: \(y_0=m\cdot x_0+t\)
Gleichung nach \(t\) auflösen
Tangentengleichung: \(y=m\cdot x+t\)

Bestimme die Tangentengleichung der Funktion \(f(x)=5-x^2\) an der Stelle \(x=2\) ?

Es soll also die Tangente an der Stelle \(x_0=2\) berechnet werden.
Zuerst \(f'(x)\) bestimmen: \(f'(x)=-2\cdot x\)
Dann die Steigung der Tangente bestimmen: \(m=f'(\color{green}{x_0})=f'(\color{green}{2})=-2\cdot \color{green}{2}=-4\)
Den y-Wert berechnen: \(y_0=f(\color{green}{x_0})=f(\color{green}{2})=5-\color{green}{2}^2=1\)
Gleichung aufstellen: \(\color{blue}{y_0}=\color{red}{m}\cdot \color{green}{x_0}+t\) ergibt \(\color{blue}{1}=\color{red}{-4}\cdot \color{green}{2}+t=-8+t\)
Gleichung nach \(t\) auflösen: \(1=-8+t\) wird durch Umformen zu \(9=t\)
Die Tangentengleichung \(y=m\cdot x+t\) lautet daher \(y=-4\cdot x+9\).