Geradengleichung

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, ist der Graph einer linearen Funktion

${\displaystyle f(x)=m\cdot x+n}$,

wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ reelle Zahlen sind. Die zugehörige Geradengleichung lautet dann

${\displaystyle y=m\cdot x+n}$.

Die Parameter ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl ${\displaystyle m}$ ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete die Länge ${\displaystyle 1}$ aufweist. Die Zahl ${\displaystyle n}$ ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt ${\displaystyle (0,n)}$. Ist ${\displaystyle n=0}$, so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität. Die Gerade mit der Gleichung ${\displaystyle y=m\cdot x+n}$ erhält man aus der Geraden mit der Gleichung ${\displaystyle y=m\cdot x}$, indem sie um ${\displaystyle n}$ in Richtung der y-Achse verschoben wird. Diese Verschiebung erfolgt nach oben, wenn ${\displaystyle n}$ positiv ist, und nach unten, wenn ${\displaystyle n}$ negativ ist.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Funktionsgraphen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form

${\displaystyle x=a}$

darstellen, wobei ${\displaystyle a}$ eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt ${\displaystyle (a,0)}$.

Zwei Punkte Form

Darstellung

In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ und ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ verläuft, als die Menge derjenigen Punkte ${\displaystyle (x,y)}$ beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

erfüllen. Hierbei müssen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ verschieden sein und ${\displaystyle x}$ darf nicht gleich ${\displaystyle x_{1}}$ gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach ${\displaystyle y}$ aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

${\displaystyle y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$,

die auch für ${\displaystyle x=x_{1}}$ verwendet werden kann. Ohne Einschränkung gültig ist die Darstellung

${\displaystyle (y-y_{1})\cdot (x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})}$.

Beispiel

Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte ${\displaystyle (1,3)}$ und ${\displaystyle (3,2)}$, so erhält man als Geradengleichung

${\displaystyle {\frac {y-3}{x-1}}={\frac {2-3}{3-1}}}$

oder aufgelöst nach ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {2-3}{3-1}}\cdot (x-1)+3=-{\frac {x}{2}}+{\frac {7}{2}}}$

beziehungsweise

${\displaystyle (y-3)\cdot (3-1)=(x-1)\cdot (2-3)}$.

 

 

 

 

 

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