Differenzengleichung

Eine Differenzengleichung ist eine Gleichung, die eine unendliche Folge von Werten rekursiv festlegt.
Rekursiv bedeutet, dass beispielsweise der erste Wert der Folge vorgegeben ist und alle weiteren Werte der Folge nur der Reihe nach berechnet werden können. Der zweite Wert der Folge kann nur durch Einsetzen des ersten Wertes in die Differenzengleichung berechnet werden. Der dritte Wert der Folge kann nur durch Einsetzen des zweiten Wertes in die Differenzengleichung berechnet werden. Und so weiter.
Die vorgegebenen Werte, aus denen man alle weiteren Werte rekursiv berechnen kann, nennt man Anfangswerte. Alle weiteren Werte sind über die Differenzengleichung festgelegt.

Mathematische Notation

Für die Folge der Werte verwenden wir die mathematische Notation (\(x_0,x_1,x_2,x_3,...\)). \(x_0\) ist der erste Wert, \(x_1\) ist der zweite Wert, \(x_2\) ist der dritte Wert, usw. Man kann die Werte \(x_n\) nur der Reihe nach berechnen, also zuerst \(x_0\), dann \(x_1\), dann \(x_2\) und so weiter. Die Differenzengleichung hat dann die Form \(x_{n+1}=f(x_n)\) bzw. \(x_n=f(x_{n-1})\). Bei den Aufgaben wird dieser Typ von Gleichung hoffentlich verständlicher.

Aufgaben mit Lösungen

Es ist der Anfangswert \(x_0=1\) gegeben. Die weiteren Werte \(x_n\) für \(n\in\{1;2;3;4;5;...\}\) sind über die Differenzengleichung \(x_n=2\cdot x_{n-1}\) gegeben. Wie lauten die nächsten vier Werte der unendlichen Zahlenfolge?
\[x_1=2\cdot x_0=2\cdot 1=2\] \[x_2=2\cdot x_1=2\cdot 2=4\] \[x_3=2\cdot x_2=2\cdot 4=8\] \[x_4=2\cdot x_3=2\cdot 8=16\]
Es sind die Anfangswerte \(x_0=0\) und \(x_1=1\) gegeben. Die weiteren Werte \(x_n\) für \(n\in\{2;3;4;5;...\}\) sind über die Differenzengleichung \(x_n=x_{n-1}+x_{n-2}\) gegeben. Wie lauten die nächsten fünf Werte der unendlichen Zahlenfolge?
\[x_2=x_1+x_0=1+0=1\] \[x_3=x_2+x_1=1+1=2\] \[x_4=x_3+x_2=2+1=3\] \[x_5=x_4+x_3=3+2=5\] \[x_6=x_5+x_4=5+3=8\]
Es ist der Anfangswert \(x_0=1\) gegeben. Die weiteren Werte \(x_n\) für \(n\in\{1;2;3;4;5;...\}\) sind über die Differenzengleichung \(x_n=3\cdot x_{n-1}-1\) gegeben. Berechne die nächsten vier Werte der unendlichen Zahlenfolge!
\[x_1=3\cdot x_0-1=3\cdot 1-1=2\] \[x_2=3\cdot x_1-1=3\cdot 2-1=5\] \[x_3=3\cdot x_2-1=3\cdot 5-1=14\] \[x_4=3\cdot x_3-1=3\cdot 14-1=41\]
Zu den interaktiven Aufgaben → Differenzengleichung - Übungsaufgaben

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