Kreisbogen

Ein Kreisbogen ist der Bogen eines Kreises zwischen zwei bestimmten Punkten. Wenn sich die beiden Punkte nicht direkt gegenüberliegen, bildet einer dieser Bögen, der Nebenbogen, im Mittelpunkt des Kreises einen Winkel, der kleiner als π Bogenmaß (180 Grad) ist, und der andere Bogen, der Hauptbogen, bildet einen Winkel, der größer als π Bogenmaß ist. Der Kreisbogen ist definiert als der Teil oder das Segment des Kreisumfangs. Eine gerade Linie, die die beiden Enden des Kreisbogens verbindet, wird als Kreissehne bezeichnet. Wenn die Länge eines Bogens genau die Hälfte des Kreises beträgt, spricht man von einem Halbkreisbogen.

Berechnung

Die Länge ${\displaystyle b}$ eines Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \alpha }$ im Gradmaß und dem Radius ${\displaystyle r}$ ist

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2\pi \cdot r\cdot {\frac {\alpha }{\displaystyle 360^{\circ }}}\\&=\pi \cdot r\cdot {\frac {\alpha }{\displaystyle 180^{\circ }}}\\\end{aligned}}}$.

Der Flächeninhalt des entsprechenden Kreisausschnittes ist

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}\cdot {\frac {\alpha }{\displaystyle 360^{\circ }}}}$.

Gibt man den Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \alpha }$ im Bogenmaß an, so lauten die Formeln

${\displaystyle b=r\cdot \alpha \qquad A={\frac {r^{2}\cdot \alpha }{2}}}$.

Durch Einsetzen des Winkels ${\displaystyle \alpha =360^{\circ }}$ bzw. ${\displaystyle \alpha =2\pi }$ ergeben sich die bekannten Formeln für Umfang und Flächeninhalt des Vollkreises.

Die Länge ${\displaystyle l}$ der Kreissehne erhält man über folgenden Zusammenhang aus dem Kreisbogen und dem Radius oder direkt aus dem Mittelpunktswinkel:

${\displaystyle l=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {b}{2\cdot r}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}$

 

 

 

 

 

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