Asymptote Berechnen

Wir werden in diesem Artikel Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen berechnen. Eine gebrochenrationale Funktion besteht aus einer Division zweier ganzrationaler Funktionen. Beim Berechnen einer Asymptote ist es wichtig, den Grad der beiden ganzrationalen Funktionen zu kennen. Wir bezeichnen als Zählergrad den Grad des Zählerpolynoms und als Nennergrad den Grad des Nennerpolynoms. Durch Vergleichen dieser beiden Grade lässt sich bereits viel über die Asymptote(n) aussagen!
  • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so hat die Funktion eine waagrechte Asymptote bei \(y=0\).
  • Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, so hat die Funktion eine waagrechte Asymptote bei \(y\neq 0\).
  • Ist der Zählergrad gleich 'Eins plus Nennergrad', so hat die Funktion eine schräge Asymptote.
  • Ist der Zählergrad größer als 'Eins plus Nennergrad', so hat die Funktion eine gekrümte Asymptote.

Waagrechte Asymptoten Berechnen

Eine waagrechte Asymptote bei \(y=0\) ist vorhanden, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.
Wo hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{x+2}{x^4+3}\) eine waagrechte Asymptote?
Das Zählerpolynom lautet \(g(x)=x+2\) und das Nennerpolynom lautet \(h(x)=x^4+3\).
Der Grad des Zählerpolynoms ist 1. Der Grad des Nennerpolynoms ist 4.
Damit ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad und es ist eine waagrechte Asymptote bei \(y=0\) gegeben.
Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, so muss man die Koeffizienten der jeweils höchsten Potenz ansehen. Ist \(a\) der Koeffizient der höchsten Potenz von \(g(x)\) und ist \(b\) der Koeffizient der höchsten Potenz von \(h(x)\), so hat die Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) bei \(y=\frac{a}{b}\) eine waagrechte Asymptote.
Wo hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{9x^2+3x+7}{4x^2-17x+5}\) eine waagrechte Asymptote?
Das Zählerpolynom lautet \(g(x)=9x^2+3x+7\) und das Nennerpolynom lautet \(h(x)=4x^2-17x+5\).
Der Grad des Zählerpolynoms ist 2. Der Grad des Nennerpolynoms ist 2.
Damit ist der Zählergrad gleich groß wie der Nennergrad.
Der Koeffizient der höchsten Potenz von \(g(x)\) ist \(a=9\).
Der Koeffizient der höchsten Potenz von \(h(x)\) ist \(b=4\).
Damit ist eine waagrechte Asymptote bei \(y=\frac{a}{b}=\frac{9}{4}\) gegeben.

Senkrechte Asymptoten Berechnen

Bei Berechnen von senkrechten Asymptoten betrachtet man die Nullstellen des Nennerpolynoms. Dabei darf die gebrochenrationale Funktion nicht mehr kürzbar sein. Dann hat die gebrochenrationale Funktion dort eine senkrechte Asymptote.
Wo hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{(x+1)\cdot (x+2)}{(x-1)\cdot(x+2)}\) eine senkrechte Asymptote?
Das Nennerpolynom \((x-1)\cdot(x+2)\) hat die Nullstellen \(x=1\) und \(x=-2\). Allerdings kann die Funktion \(f\) noch gekürzt werden: \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\). Damit erhält man ein einfacheres Nennerpolynom, und zwar \((x-1)\), welches nur die Nullstelle \(x=1\) hat.
Damit hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) nur bei \(x=1\) eine senkrechte Asymtote.
Wo hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{1}{(x-3)\cdot(x-4)}\) eine senkrechte Asymptote?
Die Funktion \(f\) kann nicht weiter gekürzt werden.
Das Nennerpolynom lautet \((x-3)\cdot(x-4)\) und hat die Nullstellen \(x=3\) und \(x=4\).
Damit hat die gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) bei \(x=3\) und bei \(x=4\) senkrechte Asymtoten.
Zu den interaktiven Aufgaben → Asymptote Definition - Übungsaufgaben
Zu den interaktiven Aufgaben → Asymptote Berechnen - Übungsaufgaben

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