Determinante berechnen

Zu jeder (quadratischen) Matrix gibt es eine Determinante, die berechnet werden kann. Eine quadratische Matrix hat gleich viele Spalten wie Reihen.

Wir haben die Matrix \(A=\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 5\end{pmatrix}\). \(A\) ist eine \(2\times 2\)-Matrix, also eine quadratische Matrix.
Die Determinante von \(A\) lautet \[\det A = \begin{vmatrix}3 & 1\\2 & 5\end{vmatrix}\]

Warum braucht man eigentlich Determinanten?
Eine der wichtigsten Anwendungen von Determinanten ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Wie berechnet man eine Determinante?

Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen zum Berechnen von Determinanten. Für bestimmte Dimensionen der ausgehenden Matrizen gibt es hilfreiche spezielle Formeln. Wie man Determinanten berechnet hängt daher oft von der Dimension der ausgehenden Matrix ab.

Die Determinante einer \(2x2\)-Matrix berechnen

Wir verwenden die Variablen \(a,b,c,d\) um eine allgemeine Aussage (also eine Formel) zu erhalten.

\[\det \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix} = a\cdot d - b\cdot c\]

Wie lautet die Determinante von \(A=\begin{pmatrix}0&1\\3&2\end{pmatrix}\) ?

\[\det \begin{pmatrix}0&1\\3&2\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}0&1\\3&2\end{vmatrix} = 0\cdot 2 - 1\cdot 3 = -3\]

Wie lautet die Determinante von \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) ?

\[\det \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix} = 0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1\]

Die Determinante einer \(3x3\)-Matrix berechnen

Die Determinante einer \(3x3\)-Matrix kann mit der Regel von Sarrus berechnet werden:

\[\det \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32} - a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32} - a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33} - a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}\]

Wie lautet die Determinante von \(A=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&1&0\\3&2&1\end{pmatrix}\) ?

\[\det \begin{pmatrix}0&2&1\\0&1&0\\3&2&1\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}0&2&1\\0&1&0\\3&2&1\end{vmatrix} = 0\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 3 + 1\cdot 0\cdot 2 - 0\cdot 0\cdot 2 - 2\cdot 0\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot 3 = -3\]

Wie lautet die Determinante von \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\) ?

\[\det \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix} = 1\cdot 1\cdot 1 + 0\cdot 0\cdot 1 + 1\cdot 0\cdot 0 - 1\cdot 0\cdot 0 - 0\cdot 0\cdot 1 - 1\cdot 1\cdot 1 = 1-1=0\]