Matrix

Eine Matrix kann meist als eine Tabelle von Zahlen aufgefasst werden, mit der auch Rechenschritte durchgeführt werden können. Beispielsweise kann man zwei Matrizen (Plural von Matrix), dessen Tabellenanordnungen gleich groß sind, miteinander addieren. Zudem kann man viele mathematische Systeme kompakt durch Matrizen darstellen, wie etwa ein lineares Gleichungssystem. Das macht das Konzept von Matrizen sehr hilfreich. Zuerst sehen wir uns jedoch ein paar Beispiele von Matrizen an.
Der Ausdruck \(\begin{pmatrix}4&2\\1&5\end{pmatrix}\) ist eine Matrix.
Der Ausdruck \(\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\\3&3\end{pmatrix}\) ist eine Matrix.
Der Ausdruck \(\begin{pmatrix}4&2&1\\3&1&5\\1&2&8\end{pmatrix}\) ist eine Matrix.
Wie man erkennen kann, kann man die Größe (auch Dimension genannt) einer Matrix durch die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten ihrer Elemente beschreiben.
Die Matrix \(\begin{pmatrix}2&4&2\\1&3&5\end{pmatrix}\) hat zwei Zeilen und drei Spalten. Man sagt dazu \(2\times 3\)-Matrix (sprich: 2 mal 3 Matrix).
Die Matrix \(\begin{pmatrix}1&1\\1&3\\5&-1\end{pmatrix}\) hat drei Zeilen und zwei Spalten. Man sagt dazu \(3\times 2\)-Matrix (sprich: 3 mal 2 Matrix).
Eine \(m\times n\) Matrix sieht im Allgemeinen wie folgt aus \[\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\ldots &a_{m,1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\ldots &a_{m,2}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\ldots &a_{m,3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&a_{m,3}&\ldots &a_{m,n}\end{pmatrix}\] Ein beliebiges Element dieser Matrix wird also mit \(a_{i,j}\) beschrieben. Dabei ist \(i\) die Zeile und \(j\) die Spalte in der sich das Element befindet.
Das Element \(a_{2,1}\) der Matrix \(\begin{pmatrix}4&2\\\color{blue}{1}&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\\color{blue}{a_{2,1}}&a_{2,2}\end{pmatrix}\) lautet \(a_{2,1}=1\).
Das Element \(a_{2,3}\) der Matrix \(\begin{pmatrix}1&2\\\color{blue}{1}&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\\color{blue}{a_{2,1}}&a_{2,2}\end{pmatrix}\) lautet \(a_{2,1}=1\).
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