Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist durch die kontinuierliche Annäherung an die Stelle gegeben. Es kommt vor, dass in manchen Fällen der Grenzwert nicht existiert. Voraussetzung der Existenz eines Grenzwerts ist, dass alle möglichen kontinuierlichen Annäherungen an die Stelle denselben Wert ergeben müssen. Der Grenzwert der Funktion \(f\) an einer Stelle \(a\) wird wie folgt geschrieben \[\lim _{x \rightarrow a}f(x).\] Dabei bedeutet das Symbol \(\lim _{x \rightarrow a}\), dass wir alle kontinuierlichen Annäherungen an die Stelle \(a\) betrachten.

Beispiele

Man betrachte die Funktion \(f(x)=x^2-1\). Der Grenzwert an der Stelle \(a=1\) lautet \[\lim _{x \rightarrow a}f(x)\] Eingesetzt schreibt man \[\lim _{x \rightarrow 1}x^2-1 =1^2-1=0\] In diesem Beispiel haben wir \(x=1\) in die Funktion eingesetzt. Achtung! Das geht nicht immer!

Man betrachte die Funktion \[f(x)=\begin{cases} 2 \text{ falls } x=1\\x^2 \text{ falls } x\neq 1\end{cases}\] Der Grenzwert an der Stelle \(a=1\) lautet \[\lim _{x \rightarrow a}f(x)\] Eingesetzt schreibt man \[\lim _{x \rightarrow 1}x^2 =1^2=1\neq f(1)=2\] Achtung! In diesem Beispiel haben wir \(x=1\) nicht in die Funktion eingesetzt!

Man betrachte die Funktion \(f(x)=1/x\). Der Grenzwert an der Stelle \(a=0\) \[\lim _{x \rightarrow a}f(x)\] existiert nicht. Nähert man sich der Stelle \(a=0\) von negativen \(x\)-Werten heran, so gehen die Funktionswerte gegen \(-\infty\). Nähert man sich der Stelle \(a=0\) von positiven \(x\)-Werten heran, so gehen die Funktionswerte gegen \(+\infty\). Würde man hier direkt in die Funktion einsetzen, so hätte man den undefinierten und daher unzulässigen Ausdruck \(1/0\).

Zu den interaktiven Aufgaben → Grenzwert einer Funktion - Übungsaufgaben