Reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen wird mit dem Symbol \(\mathbb{R}\) dargestellt (R wie reell). Sie besteht aus allen rationalen Zahlen und aus allen irrationalen Zahlen zusammen.

Die reellen Zahlen sind sehr wichtig in der Mathematik, vor allem im Gebiet der Analysis. Eine grafische Darstellung der reellen Zahlenmenge ist die Zahlengerade. Bewegt man sich entlang der Zahlengerade, so verändert man kontinuierlich den Zahlenwert, an dem man sich gerade befindet. Kontinuierlich bedeutet hier, dass sich der Zahlenwert ohne Sprünge zu machen erhöht, und zwar egal wie weit man in die Zahlengerade hinein zoomt. Da das genau genommen keine saubere mathematische Beschreibung ist, erwähnen wir hier noch, wie man sich den Begriff kontinuierlich vorstellen kann!
Betrachten wir eine reelle Zahl \(r\). Man betrachte das Intervall \([r-\epsilon,r+\epsilon]\) mit \(\epsilon > 0\). Dieses Intervall enthält die Zahl \(r\). Man kann \(\epsilon\) und damit das Intervall noch so klein machen, es sind immer Werte enthalten die kleiner und größer als \(r\) sind. Das gilt für jede reelle Zahl. Deswegen sagt man die reellen Zahlen bilden eine kontinuierliche Menge.
Das Gegenteil von kontinuierlich ist diskret. Bei einer diskreten Menge kann man zu jeder Zahl \(z\) der Menge ein nicht-leeres Intervall \([z-\epsilon,z+\epsilon]\) finden, von dem nur die Zahl \(z\) in der Menge enthalten ist. Die ganzen Zahlen sind zum Beispiel eine diskrete Menge.

Was ist, wenn man die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl ziehen möchte? Geht nicht?
Klar geht das! Das Ergebnis ist Teil der komplexen Zahlen.
Zu den interaktiven Aufgaben → Reellen Zahlen - Übungsaufgaben

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