Komplexen Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit dem Symbol \(\mathbb{C}\) dargestellt (C wie complex - komplex auf Englisch).
Wenn man die Wurzel aus negativen reellen Zahlen zieht, erhält man eine komplexe Zahl.
Rechnet man mit komplexen Zahlen, so schreibt man für die Wurzel aus minus Eins gleich \[\sqrt{-1}=i\] (Manche schreiben auch \(\sqrt{-1}=j\), was häufig in Berechnungen in der Elektrotechnik verwendet wird.). Wichtig ist die Festlegung, dass gilt: \[i^2=-1\] Das \(i\) steht übrigens für imaginär, man nennt es die imaginäre Einheit. Nun sollte es klar sein, warum die reellen Zahlen reell heißen.

Beispiele

Die Zahl \(\sqrt{-8}\) ist eine komplexe Zahl und keine reelle Zahl.
Die Zahl \(\sqrt{8}\) ist eine komplexe Zahl und eine reelle Zahl.
Die Zahl \(\sqrt{-13}\) ist eine komplexe Zahl und keine reelle Zahl.
Die Zahl \(\sqrt{13}\) ist eine komplexe Zahl und eine reelle Zahl.
Die komplexe Zahlenmenge ist eine Erweiterung der reellen Zahlenmenge, denn: Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl, aber nicht jede komplexe Zahl ist auch eine reelle Zahl.

Realteil und Imaginärteil

Eine komplexe Zahl kann wie folgt geschrieben werden: \[a+i\cdot b\] Dabei sind \(a\) und \(b\) reelle Zahlen. Man nennt \(a\) den Realteil und \(b\) den Imaginärteil.
Weiter gilt, dass eine reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist (mit \(b=0\)). Eine imaginäre Zahl ist eine komplexe Zahl mit \(a=0\).

Beispiele

Die komplexe Zahl \(z=2+3i\) hat den Realteil \(2\) und den Imaginärteil \(3\).
Die komplexe Zahl \(z=5-3i\) hat den Realteil \(5\) und den Imaginärteil \(-3\).
Wie lautet der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Zahl \(z=(1-i)\cdot (1+i)\) ?

Wir rechnen aus: \[z=(1-i)(1+i)=1\cdot 1 - i\cdot 1 + 1\cdot i - i\cdot i=1-i^2=1-(-1)=2\] Also lautet der Realteil \(2\) und der Imaginärteil \(0\). Damit ist \(z=(1-i)\cdot (1+i)\) eine reelle Zahl!
Zu den interaktiven Aufgaben → Komplexen Zahlen - Übungsaufgaben

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