Matrizen multiplizieren
Eine Matrix kann mit einer weiteren Matrix multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.Wir haben die beiden Matrizen \(A=\begin{pmatrix}3&2&0\\0&1&5\end{pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&1&0\end{pmatrix}\) gegeben. \(A\) ist eine \(2\times 3\)-Matrix. \(B\) ist eine \(3\times 3\)-Matrix. Das Produkt \(A\cdot B\) kann man berechnen. Jedoch: \(\require{cancel} \cancel{B\cdot A}\) Das Produkt kann in diesem Fall nicht berechnet werden! Warum? Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix (jetzt \(B\)) ist ungleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix (jetzt \(A\)).
Wie berechnet man nun das Produkt zweier Matrizen? Man multipliziert zwei Matrizen, indem man folgende Formel verwendet:
Die Multiplikation zweier Matrizen \(A\) und \(B\) ergibt wiederum eine Matrix:
\[A\cdot B=C\]
Das Element \(c_{i,j}\) der Matrix \(C\) wird mittels der Formel
\[c_{i,j}=\sum _{k=1} a_{i,k}\cdot b_{k,j}\]
berechnet.
Die Multiplikation einer \(n\times k\)-Matrix mit einer \(k\times m\)-Matrix ergibt eine \(n\times m\)-Matrix.
Wie lautet \(A\cdot B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\)?
Wir haben die beiden Matrizen \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\end{pmatrix}\) gegeben. Die Multiplikation einer \(2\times 2\)-Matrix mit einer \(2\times 2\)-Matrix ergibt eine \(2\times 2\)-Matrix. Damit ist das Ergebnis eine \(2\times 2\)-Matrix, die wir \(C=\begin{pmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}\\c_{2,1}&c_{2,2}\end{pmatrix}\) nennen.
Mithilfe der Formel \(c_{i,j}=\sum _{k=1} a_{i,k}\cdot b_{k,j}\) können wir nun die Matrix berechnen:
\(c_{1,1}=\sum _{k=1} a_{1,k}\cdot b_{k,1}=a_{1,1}\cdot b_{1,1} + a_{1,2}\cdot b_{2,1}=0\cdot 1+1\cdot 0=0\)
\(c_{1,2}=\sum _{k=1} a_{1,k}\cdot b_{k,2}=a_{1,1}\cdot b_{1,2} + a_{1,2}\cdot b_{2,2}=0\cdot 1+1\cdot 2=2\)
\(c_{2,1}=\sum _{k=1} a_{2,k}\cdot b_{k,1}=a_{2,1}\cdot b_{1,1} + a_{2,2}\cdot b_{2,1}=1\cdot 1+0\cdot 0=1\)
\(c_{2,2}=\sum _{k=1} a_{2,k}\cdot b_{k,2}=a_{2,1}\cdot b_{1,2} + a_{2,2}\cdot b_{2,2}=1\cdot 1+0\cdot 2=1\)
Wir erhalten nun \[A\cdot B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}=C\]
Mithilfe der Formel \(c_{i,j}=\sum _{k=1} a_{i,k}\cdot b_{k,j}\) können wir nun die Matrix berechnen:
\(c_{1,1}=\sum _{k=1} a_{1,k}\cdot b_{k,1}=a_{1,1}\cdot b_{1,1} + a_{1,2}\cdot b_{2,1}=0\cdot 1+1\cdot 0=0\)
\(c_{1,2}=\sum _{k=1} a_{1,k}\cdot b_{k,2}=a_{1,1}\cdot b_{1,2} + a_{1,2}\cdot b_{2,2}=0\cdot 1+1\cdot 2=2\)
\(c_{2,1}=\sum _{k=1} a_{2,k}\cdot b_{k,1}=a_{2,1}\cdot b_{1,1} + a_{2,2}\cdot b_{2,1}=1\cdot 1+0\cdot 0=1\)
\(c_{2,2}=\sum _{k=1} a_{2,k}\cdot b_{k,2}=a_{2,1}\cdot b_{1,2} + a_{2,2}\cdot b_{2,2}=1\cdot 1+0\cdot 2=1\)
Wir erhalten nun \[A\cdot B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}=C\]
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