Radiant und Grad

Ein Winkel kann in verschiedenen Winkelmaßen bzw. Einheiten angegeben werden. Bekannt sind vor allem die beiden Einheiten Radiant und Grad. In einem Taschenrechner wird Radiant mit rad abgekürzt. In der Einheit Grad wird eine volle Umdrehung als 360 Grad definiert. Ein rechter Winkel hat demnach 90 Grad. Die Einheit Radiant wird mittels des Einheitskreises definiert (Kreis mit Radius der Länge Eins). Dazu betrachten wir die Bogenlänge \(L\) des entsprechenden Kreisabschnitts. Die folgende animierte Grafik veranschaulicht den Zusammenhang von Bogenlänge und Winkel.
Zusammenhang Bogenlänge und Winkel
Offensichtlich gibt es zu einem Winkel eine bestimmte Bogenlänge am Einheitskreis. Das Bogenmaß gibt diese Bogenlänge an. Die Einheit der Bogenlänge lautet Radiant. Die Einheit Radiant ist eine natürliche Einheit, da es keine Festlegung eines Wertes gibt (abgesehen vom Radius des Einheitskreises). Im Gegensatz wurde bei Grad der Winkel für eine volle Umdrehung auf 360 Grad festgelegt.

Umrechnung zwischen Grad und Radiant

Um zum Online-Umrechner zwischen Grad und Radiant zu gelangen, einfach auf den Link klicken.
Eine volle Umdrehung in Radiant ausgedrückt entspricht der Länge des Umfanges des Einheitskreises. Diese Länge beträgt genau \(2\pi\). Eine volle Umdrehung im Kreis entspricht also 360 Grad oder \(2\pi\) Radiant (rad). Gleichsetzen dieser beiden Terme ergibt \[2\pi\text{ rad}=360^{\circ}.\] Durch Umformen erhält man \[2\pi\text{ rad}=360^{\circ}\qquad\color{gray}{|:2\pi}.\] \[1\text{ rad}=\frac{180}{\pi}^{\circ}\] \[1\text{ rad}\approx 57{,}2957795^{\circ}\] Eine Formel zum Umrechnen von Bogenmaß zu Grad lautet also \[x\text{ rad}=x\cdot \frac{180}{\pi}\text{ Grad}.\] Eine Formel zum Umrechnen von Grad zu Bogenmaß lautet \[x\text{ Grad}=x\cdot \frac{\pi}{180}\text{ rad}.\]
Wie viel Grad sind 1,35 Rad?
Wir setzen in die Formel ein: \[1{,}35\text{ rad}=1{,}35\cdot \frac{180}{\pi}\text{ Grad}\approx 77{,}35\text{ Grad}\]
Wie viel Radiant sind 30 Grad?
Wir setzen in die Formel ein: \[30\text{ Grad}=30\cdot \frac{\pi}{180}\text{ rad}\approx 0{,}52\text{ rad}\]
Zu den interaktiven Aufgaben → Radiant und Grad - Übungsaufgaben
Quellen: wikipedia.org/wiki/Radiant_(Einheit)

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