Additionsregel Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment mindestens eines von zwei Ereignissen zutrifft, ist durch die Additionsregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben (auch Additionssatz genannt):
\[p_{(A\text{ oder }B)}=p_{(A\cup B)}=p_A+p_B-p_{(A\cap B)}\]
Dabei ist \(p_A\) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \(A\) zutrifft, \(p_B\) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \(B\) zutrifft und \(p_{(A\cap B)}\) die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse \(A\) und \(B\) zugleich zutreffen.

Hinweis: Handelt es sich bei \(A\) und \(B\) um Ereignisse die einander ausschließen (disjunkte Ereignisse können nie zugleich eintreten), so vereinfacht sich die Additionsregel zu \[p_{(A\text{ oder }B)}=p_{(A\cup B)}=p_A+p_B\]

Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Jemand würfelt mit einem fairen Würfel. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass eine "gerade Zahl" oder "Primzahl" gewürfelt wird?
Es können die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 gewürfelt werden. Davon sind \(\{2,4,6\}\) gerade Zahlen und \(\{2,3,5\}\) Primzahlen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird lautet \(p_{\text{gerade}}=\frac{3}{6}\cdot 100\% = 50\%\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gewürfelt wird lautet \(p_{\text{Primzahl}}=\frac{3}{6}\cdot 100\% = 50\%\).

Es gibt eine Zahl die zugleich gerade und eine Primzahl ist! Und zwar die Zahl \(2\). Alle anderen Zahlen erfüllen das nicht. Damit lautet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird die zugleich gerade und eine Primzahl ist \(p_{(\text{gerade und Primzahl})}=\frac{1}{6}\cdot 100\% = 16{,}67\%\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl gewürfelt wird die gerade oder eine Primzahl (oder beides) ist, ist durch die Additionsregel \(p_{(\text{gerade oder Primzahl})}=p_{(\text{gerade})}+p_{(\text{Primzahl})}-p_{(\text{gerade und Primzahl})}=50\%+50\%-16{,}67\%=83{,}33\%\) gegeben.
In einer Urne befinden sich vier blaue Kugeln, drei rote Kugeln, zwei gelbe Kugeln und eine grüne Kugel. Jemand zieht ohne Hinzusehen eine Kugel. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel rot oder gelb ist?
Es gibt insgesamt \(N=10\) Kugeln.
Wir definieren Ereignis \(A\) als 'eine rote Kugel ziehen' und Ereignis \(B\) als 'eine gelbe Kugel ziehen'. Zieht man eine Kugel, so kann die Kugel niemals zwei Farben zugleich haben. Somit schließen sich \(A\) und \(B\) einander aus. Damit ist \(p_{(A\cap B)}=0\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird, lautet \(p_{\text{rot}}=p_A=\frac{3}{N}=\frac{3}{10}\), da es drei rote Kugeln gibt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gelbe Kugel gezogen wird, lautet \(p_{\text{gelb}}=p_B=\frac{2}{N}=\frac{2}{10}\), da es zwei gelbe Kugeln gibt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote oder gelbe Kugel gezogen wird, ist durch die Additionsregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung gegeben:\[p_{(\text{rot oder gelb})}=p_{\text{rot}}+p_{\text{gelb}}=p_{(A\cup B)}=p_A+p_B-p_{(A\cap B)}=\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+0=\frac{5}{10}=0{,}5\] Die Wahrscheinlichkeit beträgt also \(50\%\).
Jemand würfelt mit einem fairen Würfel. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass eine "Eins" oder "Sechs" gewürfelt wird?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl "Eins" gewürfelt wird, ist \(p_1=\frac{1}{6}\cdot 100\% = 16{,}67\%\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine "Sechs" gewürfelt wird, ist \(p_6=\frac{1}{6}\cdot 100\% = 16{,}67\%\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine "Eins" und eine "Sechs" zugleich gewürfelt wird, ist \(p_{1\cap 6}=0\cdot 100\% = 0\%\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine "Eins" oder "Sechs" gewürfelt wird, ist durch die Additionsregel \(p_{(1\cap 6)}=p_1+p_6-p_{1\cap 6}=16{,}67\%+16{,}67\%-0\%=33{,}33\%\) gegeben.
Zu den interaktiven Aufgaben → Additionsregel - Übungsaufgaben

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