Differenzenquotient

Die mittlere Änderungs­rate zwischen zwei verschiedenen Stellen \(a\) und \(b\) (mit \(a<b\)) einer Funktion ist durch
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
gegeben und wird Differenzenquotient genannt. Die mittlere Änderungs­rate kann auch als die durch­schnittliche Steigung der Funktion zwischen \(a\) und \(b\) aufgefasst werden.

Die mittlere Änderungs­rate zwischen zwei Stellen \(a\) und \(b\) einer reellen Funktion entspricht der Steigung einer Gerade, welche die beiden Stellen \(a\) und \(b\) verbindet. Deshalb spricht man auch von durch­schnittlicher Steigung. Betrachte dazu die folgende interaktive Grafik.

Aufgaben mit Lösungen

Wie lautet die mittlere Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) im Bereich zwischen \(x=1\) und \(x=2\) ?
Es ist \(a=1\) und \(b=2\). Es ist \(f(b)=f(2)=2^2=4\) und \(f(a)=f(1)=1^2=1\).
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{4-1}{2-1}=3\] Die mittlere Steigung im betrachteten Bereich lautet also 3.
Wie lautet die mittlere Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) im Bereich zwischen \(x=0\) und \(x=1\) ?
Es ist \(a=0\) und \(b=1\). Es ist \(f(b)=f(1)=1^2=1\) und \(f(a)=f(0)=0^2=0\).
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1\]
Wie lautet die mittlere Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) im Bereich zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) ?
Es ist \(a=-1\) und \(b=1\). Es ist \(f(b)=f(1)=1^2=1\) und \(f(a)=f(-1)=(-1)^2=1\).
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{1-1}{2}=0\] Im Bereich zwischen -1 und 1 ist die Funktion gleich viel angestiegen wie abgefallen.
Zu den interaktiven Aufgaben → Differenzenquotient - Übungsaufgaben
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