MathematikDie mittlere Änderungsrate zwischen zwei verschiedenen Stellen \(a\) und \(b\) (mit \(a<b\)) einer Funktion ist durch
\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
gegeben und wird Differenzenquotient genannt. Die mittlere Änderungsrate kann auch als die durchschnittliche Steigung der Funktion zwischen \(a\) und \(b\) aufgefasst werden.Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Stellen \(a\) und \(b\) einer reellen Funktion entspricht der Steigung einer Gerade, welche die beiden Stellen \(a\) und \(b\) verbindet. Deshalb spricht man auch von durchschnittlicher Steigung. Betrachte dazu die folgende interaktive Grafik.
Aufgaben mit Lösungen
Wie lautet die mittlere Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) im Bereich zwischen \(x=1\) und \(x=2\) ?
Es ist \(a=1\) und \(b=2\). Es ist \(f(b)=f(2)=2^2=4\) und \(f(a)=f(1)=1^2=1\).
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{4-1}{2-1}=3\] Die mittlere Steigung im betrachteten Bereich lautet also 3.
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{4-1}{2-1}=3\] Die mittlere Steigung im betrachteten Bereich lautet also 3.
Wie lautet die mittlere Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) im Bereich zwischen \(x=0\) und \(x=1\) ?
Es ist \(a=0\) und \(b=1\). Es ist \(f(b)=f(1)=1^2=1\) und \(f(a)=f(0)=0^2=0\).
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1\]
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1\]
Wie lautet die mittlere Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) im Bereich zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) ?
Es ist \(a=-1\) und \(b=1\). Es ist \(f(b)=f(1)=1^2=1\) und \(f(a)=f(-1)=(-1)^2=1\).
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{1-1}{2}=0\] Im Bereich zwischen -1 und 1 ist die Funktion gleich viel angestiegen wie abgefallen.
Wir setzen ein. \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{1-1}{2}=0\] Im Bereich zwischen -1 und 1 ist die Funktion gleich viel angestiegen wie abgefallen.
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