Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist ein spezieller Mittelwert einer Liste von nicht-negativen Zahlen angibt.
Der geometrische Mittelwert bzw. das geometrische Mittel \(\bar{x}_{\text{geo}}\) einer Datenreihe aus nicht-negativen Zahlen \(\{x_1;x_2;x_3;\ldots;x_n\}\) ist durch folgende Formel gegeben: \[\bar{x}_{\text{geo}}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}\]
Das geometrische Mittel einer Datenreihe ist übrigens nie größer als das arithmetische Mittel der selben Datenreihe (positive Werte vorausgesetzt). Es kann sogar deutlich kleiner sein! Dazu mehr in der vierten Aufgabe.

Aufgaben mit Lösungen

Wie lautet das geometrische Mittel der Zahlen 4, 1, 3 ?
\[\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt{4\cdot 1\cdot 3}=\sqrt[3]{8}=2\]
Wie lautet das geometrische Mittel der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
\[\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt[6]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\sqrt[6]{720}\approx 2{,}994\]
Wie lautet das geometrische Mittel der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
\[\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt[7]{0\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\sqrt[6]{0}= 0\] Sobald eine der Zahlen gleich Null ist, ist auch das geometrische Mittel Null.
Wie lautet das geometrische und das arithmetische Mittel der Zahlen 1 und 25 ?
\[\bar{x}_{\text{arith}} = \frac{1+25}{2}=13\] \[\bar{x}_{\text{geo}} = \sqrt{1\cdot 25}=\sqrt{25}=5\] Diese beiden Mittelwerte können also sehr verschieden sein. Damit ist klar, dass man wissen sollte, wann welcher Mittelwert sinnvoll ist!

Anwendung

Hinweis: Dieser Abschnitt erfordert etwas Hintergrundwissen (Physik).
Das menschliche Gehör kann üblicherweise Frequenzen zwischen 20 Hz und 20.000 Hz wahrnehmen. Welche Frequenz liegt denn genau in der Mitte dieses "hörbaren Bereichs"?
Bevor wir die Antwort geben, sollte auf folgendes hingewiesen werden: Das menschliche Gehör nimmt die Frequenzen logarithmisch wahr. Damit macht hier das arithmetische Mittel keinen Sinn. Ja, genau, wir benötigen das geometrische Mittel!
Das geometrische Mittel lautet \(\sqrt{20\cdot 20000}\approx 632{,}5\).
Tatsächlich liegt die durchschnittliche Frequenz der menschlichen Stimme im Bereich 100 Hz bis 500 Hz (je nachdem ob Kind oder männlicher Erwachsener). Die menschlichen Stimme sollte schließlich (sinnvollerweise) nicht am Rand des hörbaren Bereichs liegen. Damit passt das Ergebnis gut zu dieser Überlegung! Zudem liegt das arithmetische Mittel bei 10.010 Hz (zehntausendundzehn), also weitaus höher und weit von der (üblichen) Frequenz der menschlichen Stimme entfernt.
Quelle: Mittenfrequenz - geometrisches Mittel

Weitere Mittelwerte

Es gibt noch weitere Mittelwerte wie
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