Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Man betrachte die Exponentialfunktion \(f(x)=a\cdot b^x\) mit \(a > 0\) und \(b > 0\). Die Zahl \[h=\frac{\ln (2)}{|\ln (b)|}\] nennt man dann entweder Halbwertszeit oder Verdopplungszeit. Dabei ist \(\ln (x)\) die natürliche Logarithmusfunktion.
Eine Exponentialfunktion kann auch in der etwas anderen Form \(f(x)=a\cdot e^{\lambda x}\) gegeben sein, wobei \(a > 0\) und \(\lambda\neq 0\). Dann nennt man die Zahl \[h=\frac{\ln (2)}{|\lambda|}\] entweder Halbwertszeit oder Verdopplungszeit.

Wie unterscheidet man zwischen Halbwertszeit und Verdopplungszeit?

Man nennt \(h\) Halbwertszeit, wenn \(f(x+h)=\frac{1}{2}\cdot f(x)\) erfüllt ist.
Man nennt \(h\) Verdopplungszeit, wenn \(f(x+h)=2\cdot f(x)\) erfüllt ist.
Dies kann man auch am Parameter \(b\) bzw. \(\lambda\) erkennen.
  • Man nennt \(h\) Halbwertszeit, wenn \(0 < b < 1\) bzw. \(\lambda < 0\).
  • Man nennt \(h\) Verdopplungszeit, wenn \(b > 1\) bzw. \(\lambda > 0\).

Aufgaben mit Lösungen

Wie lautet die Halbwertszeit der Exponentialfunktion \(f(x)=e^{-x}\) ?
Wir haben \(a=1\) und \(\lambda=-1\).
Damit können wir \(h\) berechnen. \[h=\frac{\ln (2)}{|\lambda|}\] \[h=\frac{\ln (2)}{|-1|}\] \[h=\ln (2)\approx 0{,}69\]
Wie lautet die Verdopplungszeit der Exponentialfunktion \(f(x)=2\cdot 2^x\) ?
Wir haben \(a=2\) und \(b=2\).
Damit können wir \(h\) berechnen. \[h=\frac{\ln (2)}{|\ln (b)|}\] \[h=\frac{\ln (2)}{|\ln (2)|}\] \[h=1\] Erhöht man \(x\) um eins, so verdoppelt sich der Funktionswert. Beispielsweise: \(f(2)=2\cdot 2^2=8\) und \(f(3)=2\cdot 2^3=16\).

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