Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Funktion, die in der allgemeinen Form \(f(x)=a\cdot \log _b (x)\) geschrieben werden kann.
Dabei sind \(a\) und \(b > 0\) sowie \(b\neq 1\) Konstanten. Also \(b\) darf nur positiv sein und ungleich Eins. Man nennt \(b\) die Basis der Logarithmusfunktion. Die bekannteste und wichtigste Logarithmusfunktion hat die Basis \(e=2{,}718281...\), das ist die Eulersche Zahl. Man nennt diese Logarithmusfunktion die natürliche Logarithmusfunktion und verwendet die Schreibweise \(f(x)=a\cdot \log _e (x)=a\cdot \ln (x)\).
Die Logarithmusfunktion mit der Basis \(b=2\) wird \(f(x)=a\cdot \log _2 (x)=a\cdot \lg (x)\) geschrieben.

Der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion sind die positiven reellen Zahlen.

In der folgenden interaktiven Grafik sehen wir den Graph der Funktion \(f(x)=a\cdot \log _b (x)\). Verschiebe die Regler um die Parameter zu variieren und die Bedeutung der Parameter kennen zu lernen!

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Identitäten

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Damit gelten folgende Identitäten: \[b^{\log _b (x)}=x\] \[e^{\ln (x)}=x\] und \[2^{\lg (x)}=x.\]

Ableitung der Logarithmusfunktion

Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion \(f(x)=\ln (x)\) kann mit der Identität \(e^{\ln (x)}=x\) berechnet werden. Dabei verwenden wir, dass \(\frac{d}{dx}e^x=e^x\) ist. Wir leiten diese Gleichung auf beiden Seiten ab. \[e^{\ln (x)}=x\] \[e^{f(x)}=x\qquad\color{gray}{|\frac{d}{dx}}\] \[\frac{d}{dx}e^{f(x)}=\frac{d}{dx}x\] \[\color{blue}{e^{f(x)}}\cdot f'(x)=1\] \[\color{blue}{x}\cdot f'(x)=1\qquad\color{gray}{|:x}\] \[f'(x)=\frac{1}{x}\] Dabei wurde die Kettenregel verwendet. Wir haben also \[\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}\]

Stammfunktion der Logarithmusfunktion

Die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion \(f(x)=\ln (x)\) kann mit der partiellen Integration berechnet werden. Die Regel der partiellen Integration lautet: \[\int f'(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)dx.\] Wir definieren \(f'(x)=1\) und \(g(x)=\ln (x)\). Dann ist \(f(x)=x\) und \(g'(x)=\frac{1}{x}\). Wir setzen ein. \[\int f'(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)dx\] \[\int 1\cdot \ln (x)dx=x\cdot \ln (x)-\int x\cdot \frac{1}{x}dx\] \[\int \ln (x)dx=x\cdot \ln (x)-\int dx\] \[\int \ln (x)dx=x\cdot \ln (x)-x+c\] Die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion \(f(x)=\ln (x)\) lautet \(F(x)=x\cdot \big(\ln (x)-1\big)+c\).
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