Matrix transponieren

Eine Matrix wird transponiert indem man die Spalten mit den Zeilen vertauscht (man rotiert die Matrix um die Diagonale).
Wir haben die \(2\times 2\)-Matrix \(A=\begin{pmatrix}3&2\\1&5\end{pmatrix}\) gegeben. Die transponierte Matrix \(A^T\) lautet: \(A^T=\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\)
Wie man erkennen kann verwendet man zum Kennzeichnen der transponierten Matrix ein hochgestelltes T.
Am einfachsten ist es die einzelnen Elemente mit Indizes zu kennzeichnen: beispielsweise \(A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}\)
Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der transponierten Matrix lautet \(a^T_{i,j}=a_{j,i}\). Dabei ist \(a_{j,i}\) das Element in der j-ten Zeile und i-ten Spalte der ursprünglichen Matrix.
Man vertauscht beim Transponieren einer Matrix sozusagen die Elemente, die nicht in der Diagonale stehen.
Es ist die Matrix \(A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{pmatrix}\) gegeben. Die transponierte Matrix lautet \[A^T=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}\\a_{1,2}&a_{2,2}\end{pmatrix}\]
Eine weitere Eigenschaft beim Transponieren einer Matrix:
Eine \(n\times k\)-Matrix wird beim Transponieren zu einer \(k\times n\)-Matrix.
Damit ergibt sich folgende Erkenntnis:
Eine zweifach transponierte Matrix \(\left(A^T\right) ^T\) ist wieder die ursprüngliche Matrix \(A\) selbst: \[\left(A^T\right) ^T=A\]
Berechne \(\begin{pmatrix}3&2&1\\4&5&6\end{pmatrix}^T\).
Aus einer \(2\times 3\)-Matrix wird beim Transponieren eine \(3\times 2\)-Matrix. Wir schreiben zuerst die einzelnen Elemente auf: \[a_{1,1}=3\] \[a_{1,2}=2\] \[a_{1,3}=1\] \[a_{2,1}=4\] \[a_{2,2}=5\] \[a_{2,3}=6\] Die Elemente der transponierten Matrix lauten \(a^T_{i,j}=a_{j,i}\). Damit hat man \[a^T_{1,1}=a_{1,1}=3\] \[a^T_{1,2}=a_{2,1}=4\] \[a^T_{2,1}=a_{1,2}=2\] \[a^T_{2,2}=a_{2,2}=5\] \[a^T_{3,1}=a_{1,3}=1\] \[a^T_{3,2}=a_{2,3}=6\] Wir haben nun das Resultat \(A^T=\begin{pmatrix}3&2&1\\4&5&6\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}3&4\\2&5\\1&6\end{pmatrix}\).

Quellen: wikipedia.org/wiki/Transponierte_Matrix

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