Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen

Man betrachte zwei lineare Gleichungen mit je zwei Variablen \(x\) und \(y\). Die beiden Gleichungen bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.
Die beiden linearen Gleichungen \(2\cdot x+3\cdot y=-1\) und \(-1\cdot x+4\cdot y=0\) bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.
Die beiden linearen Gleichungen \(2\cdot x+3\cdot y=-1\) und \(-1\cdot z+4\cdot y=0\) bilden zusammen kein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen, da drei Variable vorkommen: \(x,y\) und \(z\).
Die beiden Gleichungen \(2\cdot x+3\cdot y^2=-1\) und \(-1\cdot x+4\cdot y=0\) bilden zusammen kein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen, da die erste Gleichung nicht linear ist.
Ein lineares Gleichungssystem kann
  • genau eine Lösung haben
  • keine Lösung haben
  • unendlich viele Lösungen haben
Die beiden linearen Gleichungen \(x+y=1\) und \(x-y=1\) bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Sie haben genau eine Lösung: \(x=2\) und \(y=1\). auch wenn es zwei Variablen sind, wird es als eine Lösung bezeichnet, das sie gleichzeitig erfüllt sein muss, um zu gelten!
Die beiden linearen Gleichungen \(x+y=1\) und \(x+y=2\) bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Sie haben keine Lösung, da sich die beiden Gleichungen widersprechen!
Die beiden linearen Gleichungen \(x+y=1\) und \(2x+2y=2\) bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Sie haben unendlich viele Lösung, da die beiden Gleichungen äquivalent zueinander sind! Sie lassen sich durch eine Äquivalenzumformung ineinander umformen. Mögliche Lösungen sind: \(x=0,y=1\) oder \(x=1,y=0\) oder \(x=2,y=-1\) oder \(x=3,y=-2\) oder \(x=4,y=-3\) usw.
Es ist unmöglich, dass ein lineares Gleichungssystem genau zwei Lösungen besitzt! Es gibt zwar Gleichungssysteme, die genau zwei Lösungen besitzen, allerdings sind die dann nicht mehr linear!
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