Varianz und Standardabweichung

Die Varianz \(\text{Var} (X)\) gibt die theoretische quadratische Abweichung einer Zufallsvariable \(X\) von ihrem Erwartungswert \(\mu=E(X)\) an.
Hinweis: Möchte man die Varianz oder Standardabweichung einer gegebenen/gemessenen Datenreihe berechnen, so benötigt man die empirische Varianz bzw. Standardabweichung.

Die Varianz ist gegeben durch \(\text{Var} (X)=E((X-\mu)^2)\).

Oft wird jedoch der sogenannten Verschiebungssatz angewendet, um die Varianz zu berechnen: \[\text{Var} (X)=E(X^2)-(E(X))^2\] Die Standardabweichung \(\sigma (X)\) gibt die theoretische Abweichung einer Zufallsvariable \(X\) um ihrem Erwartungswert \(E(X)\) an. Die Standardabweichung ist die positive Wurzel der Varianz.

\[\sigma (X)=\sqrt{E((X-\mu)^2)}=\sqrt{E(X^2)-(E(X))^2}\]

Aufgaben mit Lösungen

Jemand würfelt mit einem fairen Würfel. Die Augenzahl \(X\) ist eine Zufallsvariable. Wie lautet dessen Standardabweichung?

Der Erwartungswert der Zufallsvariable \(X\) lautet \[E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=3{,}5\] Der Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariable \(X^2\) lautet \[E(X^2)=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)/6=15{,}17\] Die Varianz lautet \[\text{Var} (X)=E(X^2)-(E(X))^2=15{,}17-(3{,}5)^2=2{,}92\] Die Standardabweichung lautet \[\sigma (X)=\sqrt{\text{Var} (X)}=\sqrt{2{,}92}=1{,}71\]

Zu den interaktiven Aufgaben → Varianz und Standardabweichung - Übungsaufgaben