Erwartungswert

Ein Erwartungswert ist der theoretische Mittelwert einer Zufallsvariable.
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable \(X\) lautet \[E(X)=\sum_{i}x_i\cdot p_i.\]
Dabei wird über alle möglichen Werte \(x_i\) der Zufallsvariable \(X\) summiert und jeweils mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit \(p_i\) multipliziert.
Jemand würfelt zweimal hintereinander mit einem fairen Würfel und addiert anschließend die beiden gewürfelten Augenzahlen. Was ist der Erwartungswert \(E(X)\) der Augenzahlsumme?
Die Wahrscheinlichkeit \(p_2\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlsumme 2 ist. Die Wahrscheinlichkeit \(p_3\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlsumme 3 ist. Und so weiter.
Der Erwartungswert lautet \[E(X)=\sum _{k=2} ^{12} k\cdot p_k = \frac{2\cdot 1}{36} + \frac{3\cdot 2}{36} + \frac{4\cdot 3}{36} + \frac{5\cdot 4}{36} + \frac{6\cdot 5}{36} + \frac{7\cdot 6}{36} + \frac{8\cdot 5}{36} + \frac{9\cdot 4}{36} + \frac{10\cdot 3}{36} + \frac{11\cdot 2}{36} + \frac{12\cdot 1}{36} = (2+6+12+20 +30+42+40+36 +30+22+12)/36 = 7\] Der Erwartungswert lautet 7. Bemerkung: Diese Augenzahlsumme hat auch die höchste Wahrscheinlichkeit \(p_7=6/36\).
Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable \(X\) lautet \[E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx.\] Dabei wird über alle möglichen Werte der Zufallsvariable \(X\) integriert und jeweils mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion multipliziert.
Zu den interaktiven Aufgaben → Erwartungswert - Übungsaufgaben

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