Lokale Extrema Berechnen

Lokale Extrema einer zweimal differenzierbaren Funktion können durch die erste und zweite Ableitung berechnet werden.
An einer Stelle \(x_0\) einer Funktion \(f\) befindet sich ein lokaler Hochpunkt, wenn \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) < 0\) ist.
An einer Stelle \(x_0\) einer Funktion \(f\) befindet sich ein lokaler Tiefpunkt, wenn \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\) ist.
Schritte zum Berechnen von lokalen Extrema:
  1. Berechne die Ableitungsfunktion \(f'(x)\)
  2. Berechne die zweite Ableitungsfunktion \(f''(x)\)
  3. Finde alle Nullstellen \(x_0\) der Ableitungsfunktion: Löse dazu die Gleichung \(f'(x_0)=0\)
  4. Untersuche Krümmung der Funktion an diesen Nullstellen:
    • Ist \(f''(x_0) < 0\), dann ist bei \(x_0\) ein Hochpunkt.
    • Ist \(f''(x_0) > 0\), dann ist bei \(x_0\) ein Tiefpunkt.
    • Ist \(f''(x_0)=0\), dann ist bei \(x_0\) kein Extrempunkt.

Aufgaben mit Lösungen

Es ist \(f(x)=3x-x^3\) gegeben. Hat die Funktion lokale Extrema?
Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=3-3x^2\).
Die zweite Ableitungsfunktion lautet \(f''(x)=-6x\).

Wir suchen nun die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion. \[f'(x_0)=0\] \[3-3x_0^2=0\qquad\color{gray}{|:3}\] \[1-x_0^2=0\] Mithilfe der PQ-Formel für quadratische Gleichungen erhalten wir die beiden Lösungen \(x_0=-1\) oder \(x_0=1\). Die erste Ableitungsfunktion hat damit bei \(-1\) und \(1\) jeweils Nullstellen.

An der Stelle \(x_0=-1\) lautet die zweite Ableitung \(f''(x_0)=-6\cdot (-1)=6 > 0\).
Damit hat die Funktion dort ein Minimum.

An der Stelle \(x_0=1\) lautet die zweite Ableitung \(f''(x_0)=-6\cdot 1=-6 < 0\).
Damit hat die Funktion dort ein Maximum.

Der Funktionsgraph der Funktion \(f\) sowie das lokale Minimum und das lokale Maximum sind in der folgenden Grafik dargestellt.
Darstellung lokaler Extremstellen: Minimum und Maximum
Es ist \(f(x)=x^3\) gegeben. Hat die Funktion lokale Extrema?
Die erste Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=3x^2\).
Die zweite Ableitungsfunktion lautet \(f''(x)=6x\).

Wir suchen nun die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion. \[f'(x_0)=0\] \[3x_0^2=0\qquad\color{gray}{|:3}\] \[x_0^2=0\qquad\color{gray}{|\sqrt{}}\] \[x_0=0\] Die erste Ableitungsfunktion hat bei \(x_0=0\) eine Nullstelle.

An der Stelle \(x_0=0\) lautet die zweite Ableitung \(f''(x_0)=6\cdot 0=0\).
An dieser Stelle hat die Funktion weder ein Maximum noch ein Minimum, da die zweite Ableitung dort Null ist! Betrachte den entsprechenden Funktionsgraphen in der folgenden Grafik.
Funktionsgraph f(x)=x^3
Zu den interaktiven Aufgaben → Extremwert berechnen - Übungsaufgaben

Weiterführende Artikel:
Hat alles, was man braucht: Taschenrechner CASIO FX-991DE X *
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