Quadratische Gleichung

Eine Gleichung, die durch äquivalente Umformungen in die Form \(a\cdot x^2+b\cdot x+c=0\) gebracht werden kann, nennt man quadratische Gleichung.
Dabei ist \(x\) eine Variable und \(a\neq 0\), \(b\) und \(c\) sind Konstanten.
Die Gleichung \(2\cdot x=3\) ist keine quadratische Gleichung.
Die Gleichung \(2\cdot x^2=3\) ist eine quadratische Gleichung.
Die Gleichung \((x+1)(x-1)=0\) ist eine quadratische Gleichung, da sie äquivalent umgeformt werden kann in \(x^2=1\).

Quadratische Gleichung Lösen

Es gibt zwei bekannte Formeln, um eine quadratische Gleichung zu Lösen. Die PQ-Formel \[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\] und die Mitternachtsformel \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\] Vorgehensweise bei der PQ-Formel:
  1. Gleichung zu \(x^2+px+q=0\) umformen
  2. \(p\) und \(q\) ablesen
  3. \(p\) und \(q\) in \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\) einsetzen und berechnen
  4. \(x_1\) und \(x_2\) sind dann die beiden Lösungen.
Es gibt auch einen interaktiven Online-Rechner zur PQ-Formel.
Wie lauten die Lösungen der Gleichung \(6+5x-x^2=0\) ?
1) Gleichung in die Form \(x^2+px+q=0\) bringen: \(x^2-5x-6=0\).
2) \(p\) und \(q\) ablesen: \(p=-5\) und \(q=-6\).
3) \(p\) und \(q\) in die Formel einsetzen und berechnen: \(x_{1,2}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}+6}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{5}{2}\pm\frac{7}{2}\).
4) \(x_1=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=6\) und \(x_2=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}=-1\) sind die beiden Lösungen.
Vorgehensweise bei der Mitternachtsformel:
  1. Gleichung zu \(a\cdot x^2+b\cdot x+c=0\) umformen
  2. \(a, b\) und \(c\) ablesen
  3. \(a, b\) und \(c\) in \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) einsetzen und berechnen
  4. \(x_1\) und \(x_2\) sind dann die beiden Lösungen.
Es gibt auch einen interaktiven Online-Rechner zur Mitternachtsformel.
Zu den interaktiven Aufgaben → Quadratische Gleichung - Übungsaufgaben

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