Differenzieren bzw. Ableiten einer Funktion

Die Steigung einer Funktion an einer Stelle \(x\) kann durch den Differentialquotienten berechnet werden. Man nennt diese Berechnung Ableiten einer Funktion oder auch Differenzieren.
Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion an der Stelle \(x_0\) ist durch \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\] definiert.
Die Ableitung einer Funktion mit dem Differentialquotienten zu bestimmen ist oft sehr schwierig. Deshalb verwendet man für solche Berechnungen üblicherweise Formeln, die sogenannten Ableitungsregeln.
Hinweis: Der Differentialquotient kann zwar für sehr viele Funktionen berechnet werden, aber nicht für alle.

Beispiele von Ableitungen mit dem Differentialquotienten

Wie lautet die Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(x_0=1\) ?
Der Differentialquotient \(f'(x_0)\) gibt die Steigung an der Stelle \(x_0\) an. \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x_0^2+2\cdot x_0\Delta x+(\Delta x)^2)-x_0^2}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\cdot x_0 \Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2\cdot x_0 +\Delta x )\] Da sich jetzt kein unbestimmter Ausdruck wie Null durch Null ergibt, kann man \(\Delta x=0\) setzen. \[f'(x_0)=2\cdot x_0+0 =2\cdot x_0\] Durch Einsetzen von \(x_0=1\) erhält man die Steigung an dieser Stelle. Die Steigung dort lautet \(f'(1)=2\).
Wie lautet die Steigung der linearen Funktion \(f(x)=m\cdot x+t\) an der Stelle \(x_0=-10\) ?
Der Differentialquotient \(f'(x_0)\) gibt die Steigung an der Stelle \(x_0\) an. \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{m\cdot (x_0+\Delta x)+t-(m\cdot x_0+t)}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{m\cdot x_0+k\cdot \Delta x-m\cdot x_0}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac{m\cdot \Delta x}{\Delta x}\] \[f'(x_0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}m\] Jetzt kann man \(\Delta x=0\) setzen. \[f'(x_0)=m\] An der Stelle \(x_0=-10\) lautet die Steigung \(f'(-10)=m\).

Ableitungsfunktion

Man kann die Ableitung einer Funktion wiederum als Funktion betrachten. Diese Funktion nennt man Ableitungsfunktion. Die Stelle an der man die Ableitung/Steigung wissen möchte ist dann die Funktionsvariable. Es gibt sehr viele verschiedene Schreibweisen für die Ableitungsfunktion, etwa folgende: \[f'(x)= \frac{dy}{dx}= \frac{df}{dx}= \frac{d}{dx}f(x)\]
Es ist \(f(x)=a\cdot x^2\) gegeben. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=2ax\). Der Funktionsgraph der Funktion \(f\) und der Funktionsgraph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der folgenden Grafik dargestellt, wo man den Parameter \(a\) mit dem Schieberegler variieren/verändern kann.

Zu den interaktiven Aufgaben → Differenzieren einer Funktion - Übungsaufgaben

Weiterführende Artikel:
Hat alles, was man braucht: Taschenrechner CASIO FX-991DE X *
Die mit Sternchen (*) gekennzeichneten Verweise sind sogenannte Provisions-Links. Für dich entstehen dabei keine Nachteile!