Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion
Besteht eine indirekte Proportionalität zwischen zwei Variablen \(x\) und \(y\), so kann man die Potenzfunktion \(y=f(x)=a\cdot x^{-1}=\frac{a}{x}\) als Darstellung der Proportionalität verwenden.Beispiel
Ein Zaun muss lackiert werden. Tom würde dafür 12 Stunden brauchen. Angenommen es hilft eine zweite Person, die gleich schnell arbeitet wie Tom, so dauert es nur 6 Stunden bis der Zaun lackiert ist. Bei drei Personen ist der Zaun in 4 Stunden fertig gestrichen. Bei vier Personen ist der Zaun in 3 Stunden fertig gestrichen. Und so weiter.
Mit der Potenzfunktion \(y=f(x)=a\cdot x^{-1}\) kann man die Zeitdauer in Abhängigkeit der Anzahl der Personen beschreiben. Die Variable \(x\) ist die Anzahl der Personen. Die Variable \(y=f(x)\) ist die Zeitdauer. Der Parameter \(a\) beschreibt die Zeitdauer, die eine Person benötigt, um den Zaun zu streichen. Das heißt es ist \(a=12\) Stunden. Also kann man mit \(f(x)=12/x\) dieses Beispiel modellieren.
Für eine Person hat man \({\color{red}{x=1}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=1}})=12/{\color{red}1}=12\) Stunden.
Für zwei Personen hat man \({\color{red}{x=2}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=2}})=12/{\color{red}2}=6\) Stunden.
Für drei Personen hat man \({\color{red}{x=3}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=3}})=12/{\color{red}3}=4\) Stunden.
Für vier Personen hat man \({\color{red}{x=4}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=4}})=12/{\color{red}4}=3\) Stunden.
Mit der Potenzfunktion \(y=f(x)=a\cdot x^{-1}\) kann man die Zeitdauer in Abhängigkeit der Anzahl der Personen beschreiben. Die Variable \(x\) ist die Anzahl der Personen. Die Variable \(y=f(x)\) ist die Zeitdauer. Der Parameter \(a\) beschreibt die Zeitdauer, die eine Person benötigt, um den Zaun zu streichen. Das heißt es ist \(a=12\) Stunden. Also kann man mit \(f(x)=12/x\) dieses Beispiel modellieren.
Für eine Person hat man \({\color{red}{x=1}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=1}})=12/{\color{red}1}=12\) Stunden.
Für zwei Personen hat man \({\color{red}{x=2}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=2}})=12/{\color{red}2}=6\) Stunden.
Für drei Personen hat man \({\color{red}{x=3}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=3}})=12/{\color{red}3}=4\) Stunden.
Für vier Personen hat man \({\color{red}{x=4}}\). Damit ist die Zeitdauer gleich \(f({\color{red}{x=4}})=12/{\color{red}4}=3\) Stunden.
Zu den interaktiven Aufgaben → Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion - Übungsaufgaben
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