Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion
Das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion kann durch die Ableitung beschrieben werden.
Eine reelle Funktion \(f\) ist monoton steigend im Intervall \(I\) falls für alle \(x\in I\) die Ungleichung \(f'(x)\geq 0\) gilt.
Eine reelle Funktion \(f\) ist monoton fallend im Intervall \(I\) falls für alle \(x\in I\) die Ungleichung \(f'(x)\leq 0\) gilt.
Aufgaben mit Lösungen
Es ist die Funktion \({\color{red}{f(x)=2+(1-x^2)^2}}\) gegeben, dessen Ableitungsfunktion \({\color{blue}{f'(x)=2x(1-x^2)}}\) lautet. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion"
Für alle \(x\) aus dem Intervall \(I=[-1,0]\) ist die Ableitungsfunktion \(f'(x)\geq 0\), daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \(I=[-1,0]\) monoton steigend.
Für alle \(x\) aus dem Intervall \(I=[0,1]\) ist die Ableitungsfunktion \(f'(x)\leq 0\), daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \(I=[0,1]\) monoton fallend.
Der Funktionsgraph der Funktion \(f\) und der Funktionsgraph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der nächsten Grafik dargestellt.
Für alle \(x\) aus dem Intervall \(I=[0,1]\) ist die Ableitungsfunktion \(f'(x)\leq 0\), daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \(I=[0,1]\) monoton fallend.
Der Funktionsgraph der Funktion \(f\) und der Funktionsgraph der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der nächsten Grafik dargestellt.
Strenge Monotonie
Es gibt übrigens noch die Bezeichnung der strengen Monotonie.Eine reelle Funktion \(f\) ist streng monoton steigend im Intervall \(I\) falls für alle \(x\in I\) die Ungleichung \(f'(x)> 0\) gilt.
Eine reelle Funktion \(f\) ist streng monoton fallend im Intervall \(I\) falls für alle \(x\in I\) die Ungleichung \(f'(x)< 0\) gilt.
Bemerkung: Die Umkehrung dieser beiden Aussagen gilt nicht immer! Es ist zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^3\) streng monoton steigend, auch wenn \(f'(0)=0\) ist!
Also falls \(f'(x)> 0\) gilt, dann ist \(f\) streng monoton steigend. Falls aber \(f'(x)> 0\) nicht überall gilt, so kann \(f\) trotzdem noch streng monoton steigend sein.
Zu den interaktiven Aufgaben → Monotonie Berechnen - Übungsaufgaben
Eventuell sind folgende Aufgaben interessant:
Zu den interaktiven Aufgaben → Monotonie Definition - Übungsaufgaben
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Hat alles, was man braucht: Taschenrechner CASIO FX-991DE X *
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