Parameterdarstellung einer Ebene

Eine Ebene kann durch drei voneinander verschiedenen Punkten, die sich alle auf der Ebene befinden (aber keine Linie bilden), dargestellt werden. Diese Darstellung nennt man Parameterdarstellung einer Ebene. Sie ist verwandt mit der Parameterdarstellung einer Gerade. Man geht also von drei voneinander verschiedenen Punkten \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\) aus, die auf der entsprechenden Ebene liegen. Sind \(\overrightarrow{AB}=(\vec{B}-\vec{A})\) und \(\overrightarrow{AC}=(\vec{C}-\vec{A})\) nicht parallel, so lässt sich die Parameterdarstellung angeben.
Wir stellen fest: Die Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) liegen beide vollständig auf der Ebene! Addiert man also zu einem beliebigen Punkt, der auf der Ebene liegt diese Vektoren, so erhält man wiederum einen Punkt der auf der Ebene liegt. Addiert man \(s\cdot \overrightarrow{AB}\) und \(t\cdot \overrightarrow{AC}\), wobei \(s\) und \(t\) beliebige reelle Zahlen sind (sogenannte Parameter), so ist das Ergebnis ein Punkt der auf der Ebene liegt.
Wir folgern: Man kann einen beliebigen Punkt auf einer Ebene mittels zweier Parameter und drei geeigneten Punkten beschreiben.
Die Parameterdarstellung einer Ebene, auf der die drei voneinander verschiedenen Punkte \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\) liegen, für die \(\overrightarrow{AB}=(\vec{B}-\vec{A})\) und \(\overrightarrow{AC}=(\vec{C}-\vec{A})\) nicht parallel sind, lautet \[\vec{P}=\vec{A}+s\cdot (\vec{B}-\vec{A})+t\cdot (\vec{C}-\vec{A})\] Schreibt man die Vektoren mit ihren Komponenten an, so ergibt sich \[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}\]
Hier geht es zu einem Online-Rechner, der von der Parameterform einer Ebene zur Normalform umrechnen kann.

Aufgaben mit Lösungen

Stelle eine Parameterdarstellung der Ebene auf, auf der die drei Punkte \(\vec{A}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{B}=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{C}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\) liegen.
Wir berechnen \(\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\).
Wir berechnen \(\overrightarrow{AC}=\vec{C}-\vec{A}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\).
Eine Parameterdarstellung der Ebene lautet \[\vec{P}=\vec{A}+s\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot \overrightarrow{AC}.\] \[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\]
Zu den interaktiven Aufgaben → Parameterdarstellung Ebene - Übungsaufgaben

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