Teilmenge

Eine Menge \(A\) ist eine Teilmenge einer anderen Menge \(B\), wenn alle Elemente, die in der Menge \(A\) enthalten sind auch in der Menge \(B\) enthalten sind.
Ist \(A\) eine Teilmenge von \(B\), so verwendet man das Symbol \(\subseteq\) und schreibt \(A\subseteq B\).
Interessanterweise gilt dann auch \(B\subseteq B\). Um diesen Fall auszuschließen, verwendet man den Begriff der echten Teilmenge. Ist \(A\) eine echte Teilmenge von \(B\), so gilt \(A\subseteq B\) und \(A\neq B\) zugleich. Man verwendet für echte Teilmengen das Symbol \(\subset\) und schreibt \(A\subset B\).

Beispiele und Aufgaben

Es sind die Mengen \(A=\{1;3;5\}\) und \(B=\{1;2;3;4;5\}\) gegeben. Da alle Elemente von \(A\) auch in \(B\) enthalten sind und \(A\neq B\) ist, gilt \(A\subset B\).
Es sind die Mengen \(D=\{1;3;5;7;9\}\) und \(E=\{1;3\}\) gegeben. Es sind alle Elemente von \(E\) auch in \(D\) enthalten. Weiters ist \(D\neq E\). Damit gilt \(E\subset D\).
Es sind die Mengen \(A=\{-1;1;6\}\) und \(B=\{-1;1;6\}\) gegeben. Da \(A=B\) ist, sind alle Elemente von \(A\) auch in der Menge \(B\) enthalten. Damit gilt \(A\subseteq B\).
Es ist die Menge \(A=\{-1;0;1\}\) gegeben. Weiters gibt es eine Menge \(B\) von der man nur weiß, dass \(A\subseteq B\) gilt. Wie sieht \(B\) aus?
Aufgrund der Angabe, dass \(A\subseteq B\), muss \(B\) zumindest die Elemente \(-1\), \(0\) und \(1\) beinhalten. Mehr kann man nicht feststellen.
Es ist die Menge \(A=\{-2;3\}\) gegeben. Weiters gibt es eine Menge \(B\) von der man nur weiß, dass \(B\subseteq A\) gilt. Wie sieht \(B\) aus?
Aufgrund der Angabe, dass \(B\subseteq A\), darf \(B\) nur die Elemente \(-2\) und \(3\) beinhalten und keine anderen. Es ergeben sich die folgenden Möglichkeiten: \(B=\{\}\), \(B=\{-2\}\), \(B=\{3\}\) oder \(B=\{-2;3\}\).
Es ist die Menge \(A=\{-4;1;5\}\) gegeben. Weiters gibt es eine Menge \(B\) von der man nur weiß, dass \(A\subseteq B\) und dass \(B\subseteq A\) gilt. Wie sieht \(B\) aus?
Aufgrund der Angabe, dass \(B\subseteq A\), darf \(B\) nur die Elemente \(-4\) und \(1\) und \(5\) beinhalten und keine anderen.
Aufgrund der Angabe, dass \(A\subseteq B\), muss \(B\) zumindest die Elemente \(-4\), \(1\) und \(5\) beinhalten und eventuell auch andere.
Kombiniert man diese Forderungen, so ergibt sich nur eine Möglichkeit, und zwar dass \(B=A\).
Zu den interaktiven Aufgaben → Teilmenge - Übungsaufgaben

Weiterführende Artikel:
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