Menge

Eine Menge ist eine Ansammlung bzw. Zusammenfassung von mehreren Elementen.
Dabei spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Ein bestimmtes Element kann entweder in einer Menge enthalten sein oder nicht. Ein Element kann alles mögliche sein, etwa eine Zahl, oder auch eine Menge. Eine Menge wird durch geschwungene Klammern dargestellt. Wir beschränken uns hier meist auf Zahlenmengen. Das sind Mengen, die nur Zahlen beinhalten.
Die Zahlenmenge welche die Zahlen Eins, Zwei und Drei enthält, schreibt man \(\{1;2;3\}\).
Die Elemente werden durch das Symbol \(;\) voneinander getrennt. Es wird sehr oft auch das Symbol \(,\) dafür verwendet. Da in der deutschen Sprache das Komma einer Zahl durch einen Beistrich gegeben ist (in der englischen Sprache ist es ein Punkt!), kann es jedoch zu Verwirrungen kommen.

Wenn ein Element in einer bestimmten Menge enthalten ist, verwendet man das Symbol \(\in\). Wenn ein Element in einer bestimmten Menge nicht enthalten ist, verwendet man das Symbol \(\notin\).
Betrachten wir nun die Zahl \(2\) und die Menge \(M=\{1;2;3\}\). Dann gilt \(2\in M\). Das heißt: Die Zahl \(2\) ist in der Menge \(M\) enthalten.
Die Zahl \(4\) ist nicht in der Menge \(M\) enthalten. Das kann man schreiben als \(4\notin M\).
Es gibt auch Mengen, die unendlich viele Zahlen enthalten, etwa die natürlichen Zahlen. Ein Spezialfall ist die Menge die kein einziges Element beinhaltet, man nennt sie die leere Menge und verwendet das Symbol \(\{ \}\), also einfach die beiden Klammern ohne Element dazwischen.

Eine oft verwendete Schreibweise für eine Menge \(M\) ist die folgende \[M=\{x\in X | \text{Bedingung} \}\] Dabei ist \(X\) eine andere Menge. Die Menge \(M\) enthält alle Elemente von \(X\), die die Bedingung nach dem Symbol \(|\) erfüllen.
Die Zahlenmenge welche nur positive reelle Zahlen enthält, schreibt man \(\{x\in \mathbb{R}|x > 0\}\). Denn \(\mathbb{R}\) ist die Menge der reellen Zahlen.
Die Zahlenmenge welche keine negativen reellen Zahlen enthält, schreibt man \(\{x\in \mathbb{R}|x\geq 0\}\).
Die Zahlenmenge welche nur reelle Zahlen enthält, die größer als Null und kleiner als Eins sind, schreibt man \(\{x\in \mathbb{R}|0\leq x\leq 1\}\).
Die Zahlenmenge welche nur gerade natürliche Zahlen enthält, schreibt man \(\{x\in \mathbb{N}|\frac{x}{2}\in \mathbb{N}\}\).
Die Zahlenmenge welche nur ungerade natürliche Zahlen enthält, schreibt man \(\{x\in \mathbb{N}|\frac{x+1}{2}\in \mathbb{N}\}\).
Zu den interaktiven Aufgaben → Menge - Übungsaufgaben

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