Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion

Winkelfunktionen wie etwa die Sinusfunktion \[f(x)=\sin (x)\] oder die Kosinusfunktion \[f(x)=\cos (x)\] haben eine typische Eigenschaft, sie sind periodisch. Eine weitere Winkelfunktion ist die Tangensfunktion \(f(x)=\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\), die durch die Sinusfunktion und durch die Kosinusfunktion dargestellt werden kann.
In der Grafik unterhalb ist der Funktionsgraph der Winkelfunktion \(f(x)=2\cdot \sin (2x)\) dargestellt.
Darstellung einer Winkelfunktion
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Parameter der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion

Die allgemeine Sinusfunktion lautet \[f(x)=a\cdot \sin (b\cdot x + c)+d\] Ganz ähnlich lautet die allgemeine Kosinusfunktion bzw. Cosinusfunktion, und zwar \[f(x)=a\cdot \cos (b\cdot x + c)+d\] Bei beiden Funktionen haben die Parameter \(a, b, c\) und \(d\) welche beliebige reelle Zahlen sein können.

Amplitude

Variiert bzw. verändert man den Parameter \(a\), so lässt sich die allgemeine Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion stauchen oder strecken bzw. dehnen oder zusammenziehen, und zwar entlang der y-Achse. In der folgenden interaktiven Grafik sehen wir den Graph der Funktion \(f(x)=a\cdot\sin (x)\). Verschiebe den Regler um die Amplitude zu variieren und die Bedeutung dieses Parameters kennen zu lernen!
Im Vergleich dazu sehen wir in der folgenden interaktiven Grafik den Funktionsgraph von \(f(x)=a\cdot\cos (x)\).
Man nennt den maximalen Wert, den die Sinusfunktion annehmen kann Amplitude. Dieser Wert ist durch den Parameter \(a\) gegeben.

Periodizität

Variiert bzw. verändert man den Parameter \(b\), so lässt sich die allgemeine Sinusfunktion \(f(x)=a\cdot \sin (b\cdot x + c)\) stauchen oder strecken bzw. dehnen oder zusammenziehen, und zwar entlang der x-Achse. In der nächsten interaktiven Grafik ist der Funktionsgraph von \(f(x)=\sin (b\cdot x)\) dargestellt.
Wir vergleichen wieder mit der Kosinusfunktion.
Der Parameter \(b\) hängt mit der Periodizität zusammen. Die Periodizität der allgemeinen Sinusfunktion ist durch \(\frac{2\pi}{b}\) gegeben.

Phase

Variiert bzw. verändert man den Parameter \(c\), so lässt sich die allgemeine Sinusfunktion \(f(x)=a\cdot \sin (b\cdot x + c)\) entlang der x-Achse verschieben. In der folgenden interaktiven Grafik sehen wir den Graph der Funktion \(f(x)=\sin (x + c)\).
Im Vergleich eine interaktive Grafik der Kosinusfunktion \(f(x)=\cos (x + c)\).
Der Parameter \(c\) wird Phase genannt.

Additive Konstante

Variiert bzw. verändert man den Parameter \(d\), so lässt sich die allgemeine Sinusfunktion \(f(x)=a\cdot \sin (b\cdot x + c)+d\) entlang der y-Achse verschieben. In der nächsten interaktiven Grafik sehen wir den Graph der Funktion \(f(x)=\sin (x)+d\). Verschiebe den Regler um den Parameter zu variieren und die Bedeutung des Parameters kennen zu lernen!
Ergänzend wieder die Kosinusfunktion \(f(x)=\cos (x)+d\).
Der Parameter \(d\) wird additive Konstante genannt.

Zusammenhang Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Der Zusammenhang der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion ist über die Phase gegeben. Es gilt \[\cos (x)=\sin (x+\frac{\pi}{2})\] Dabei ist \(\pi\approx 3.141592654\) die Kreiszahl Pi. In der folgenden interaktiven Grafik sind die Funktionsgraphen von \(f_1(x)=\cos (x)\) (grüner Funktionsgraph) und \(f_2(x)=\sin (x+c)\) (blauer Funktionsgraph) eingezeichnet. Bei \(c=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}57\) sind beide Funktionen gleich! Verschiebe den Regler für den Parameter \(c\) derart, dass die beiden Funktionen übereinander liegen! Wie lautet dann der Parameter \(c\)?


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