Äquivalenz

Beim Umformen von Gleichungen können Lösungen verloren gehen. Wir sehen uns dazu ein Beispiel an!
Man kann die Gleichung \((x-1)\cdot (x-2)=0\) mittels Division durch \((x-1)\) auf beiden Seiten zu \((x-2)=0\) umformen. Die ursprüngliche Gleichung \((x-1)\cdot (x-2)=0\) hat die Lösungsmenge \(\{1;2\}\). Die Gleichung \((x-2)=0\) hat die Lösungsmenge \(\{2\}\). Es muss also beim Umformen eine Lösung verloren gegangen sein!
Man unterscheidet aus diesem Grund zwischen äquivalenten Umformungen und nicht-äquivalenten Umformungen.
Bei einer äquivalenten Umformung bleibt die Lösungsmenge gleich!
Bei einer nicht-äquivalenten Umformung kann sich die Lösungsmenge verändern. Die wichtigsten äquivalenten Umformungen sind:
  • Die Addition desselben Terms auf beiden Seiten einer Gleichung.
  • Die Multiplikation einer Zahl ungleich Null auf beiden Seiten einer Gleichung.
Wir erläutern und verallgemeinern noch den Begriff Äquivalenz:
Zwischen zwei mathematischen Ausdrücken besteht Äquivalenz, wenn sie das Gleiche aussagen. Ein Ausdruck kann beispielsweise eine Variable, ein Term, eine Gleichung, eine Ungleichung oder ein Gleichungssystem sein.
Die Gleichung \(x-1=0\) beschreibt dasselbe wie die Gleichung \(x=1\). Denn beide sind wahr, wenn man für \(x\) die Zahl \(1\) einsetzt und beide sind falsch, wenn man eine andere Zahl einsetzt. Damit sind sie äquivalent zueinander.
Die Gleichung \(x-1=0\) beschreibt nicht dasselbe wie die Gleichung \(x=2\). Wenn man für \(x\) die Zahl \(1\) einsetzt ist die erste Gleichung wahr und die zweite falsch. Damit beschreiben sie nicht dasselbe! Somit sind sie nicht äquivalent zueinander.
Zu den interaktiven Aufgaben → Äquivalenz - Übungsaufgaben

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