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Beim Umformen von Gleichungen können Lösungen verloren gehen. Wir sehen uns dazu ein Beispiel an!
Man kann die Gleichung \((x-1)\cdot (x-2)=0\) mittels Division durch \((x-1)\) auf beiden Seiten zu \((x-2)=0\) umformen. Die ursprüngliche Gleichung \((x-1)\cdot (x-2)=0\) hat die Lösungsmenge \(\{1;2\}\). Die Gleichung \((x-2)=0\) hat die Lösungsmenge \(\{2\}\). Es muss also beim Umformen eine Lösung verloren gegangen sein!
Man unterscheidet aus diesem Grund zwischen äquivalenten Umformungen und nicht-äquivalenten Umformungen.
Bei einer äquivalenten Umformung bleibt die Lösungsmenge gleich!
Bei einer nicht-äquivalenten Umformung kann sich die Lösungsmenge verändern. Die wichtigsten äquivalenten Umformungen sind:
  • Die Addition desselben Terms auf beiden Seiten einer Gleichung.
  • Die Multiplikation einer Zahl ungleich Null auf beiden Seiten einer Gleichung.
Wir erläutern und verallgemeinern noch den Begriff Äquivalenz:
Zwischen zwei mathematischen Ausdrücken besteht Äquivalenz, wenn sie das Gleiche aussagen. Ein Ausdruck kann beispielsweise eine Variable, ein Term, eine Gleichung, eine Ungleichung oder ein Gleichungssystem sein.
Die Gleichung \(x-1=0\) beschreibt dasselbe wie die Gleichung \(x=1\). Denn beide sind wahr, wenn man für \(x\) die Zahl \(1\) einsetzt und beide sind falsch, wenn man eine andere Zahl einsetzt. Damit sind sie äquivalent zueinander.
Die Gleichung \(x-1=0\) beschreibt nicht dasselbe wie die Gleichung \(x=2\). Wenn man für \(x\) die Zahl \(1\) einsetzt ist die erste Gleichung wahr und die zweite falsch. Damit beschreiben sie nicht dasselbe! Somit sind sie nicht äquivalent zueinander.