Gleichung

Eine mathematische Gleichung sagt aus, dass zwei Terme gleich groß sind. Dabei wird das Gleichzeichen \(=\) verwendet. Man betrachte zwei Terme, die wir \(T_1\) und \(T_2\) nennen. Ist die Gleichung \(T_1=T_2\) gegeben, so heißt das, dass beide Terme gleich groß sind.

\(1+2+3=3+3\) ist eine Gleichung.

\(1+2+3\) ist keine Gleichung, sondern ein Term.

\(5=6-1\) ist eine Gleichung.

\(6-1\) ist keine Gleichung, sondern ein Term.

\(25/5=5\) ist eine Gleichung.

Gleichungen mit Variablen

Gleichungen können auch Variablen beinhalten. Üblicherweise ist das die Art von Gleichungen, mit denen man am meisten zu tun hat.

\(x+1=3\) ist eine Gleichung, welche die Variable \(x\) beinhaltet. Man kann die Gleichung durch Umformen lösen.

\(x+1-3\) ist keine Gleichung, sondern ein Term. Einen Term kann man nicht lösen, warum?

\(x^2-1=y+8\) ist eine Gleichung mit zwei Variablen, \(x\) und \(y\). Eine Gleichung mit zwei Variablen kann üblicherweise nicht vollständig gelöst werden. Bei zwei Variablen müssen zwei Gleichungen gegeben sein. Bei drei Variablen müssen drei Gleichungen gegeben sein. Und so weiter. Dazu mehr unter Gleichungssysteme.

Wahre und falsche Aussage

Wir beginnen mit einer Frage: Ist \(1=0\) eine Gleichung?

Um die Frage zu beantworten, betrachten wir \(x-1=x+1\). Die meisten würden auf den ersten Blick behaupten, dies sei eine gewöhnliche Gleichung, allerdings besitzt sie keine Lösung. Denn man kann für \(x\) jede beliebige Zahl einsetzen und man erhält immer eine falsche Aussage, beispielsweise \(6-1=6+1\) ergibt \(5=7\).

Wir betrachten nun \(x-1=0\). Setzt man \(x=1\) ein, so erhält man \(1-1=0\), also \(0=0\). Das ist wahr.
Setzt man \(x=2\) ein, so erhält man \(2-1=0\), also \(1=0\). Das ist falsch!

Eine Gleichung kann also eine wahre oder eine falsche Aussage sein. Beispielsweise ist die Gleichung \(1=1\) wahr und die Gleichung \(1=0\) falsch. Mehr erfährt man unter dem Thema Lösbarkeit.

Zu den interaktiven Aufgaben → Gleichung - Übungsaufgaben

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