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In der Mathematik steht der Begriff Lösbarkeit meist im Zusammenhang mit einer Gleichung, Ungleichung oder einem Gleichungssystem. Ist etwa eine Gleichung mit Variablen gegeben, so ist eine übliche Frage diejenige, ob die Gleichung lösbar ist oder wie die Lösungen lauten. Dazu zwei Aufgaben!
Welche Zahlen darf man für \(x\) einsetzen, damit die Gleichung \(x-2=0\) erfüllt, also wahr ist?
Durch Umformen erhält man \(x=0+2=2\). Damit ist für \(x=2\) die Gleichung erfüllt.
Welche Zahlen darf man für \(x\) einsetzen, damit die Gleichung \(x^2-1=0\) erfüllt, also wahr ist?
Durch Umformen erhält man \(x^2=0+1=1\). Es ist für \(x=1\) oder für \(x=-1\) die Gleichung erfüllt. Man hat also zwei Lösungen!
Wir erkennen, manchmal gibt es mehr als eine Lösung für eine Gleichung. Hat man bei einer Gleichung herausgefunden welche Lösung(en) sie hat, so kann man alle Lösungen gesammelt in eine Menge schreiben. Diese Menge nennt man dann die Lösungsmenge.
Die Lösungsmenge der Gleichung \(x-2=0\) lautet \(\{2\}\).
Die Lösungsmenge der Gleichung \(x^2-1=0\) lautet \(\{-1;1\}\).
Hat eine Gleichung überhaupt keine Lösung, so ist die Lösungsmenge die leere Menge, also \(\{\}\). Das ist die Menge, die kein Element enthält.
Die Lösungsmenge der Gleichung \(x-1=x+1\) lautet \(\{\}\). Denn es gibt keine Zahl, die die Gleichung erfüllt! Durch Subtraktion von \(x\) kann die Gleichung zu \(+1=-1\) umgeformt werden, was stets eine falsche Aussage liefert.
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