Produktregel

Die Produktregel besagt, dass die Ableitungsfunktion der Funktion \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\), mit den differenzierbaren Funktionen \(g\) und \(h\), durch \(f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)\) gegeben ist.

Aufgaben mit Lösungen

Es ist \(f(x)=x\cdot e^x\) gegeben. Wie lautet \(f'(x)\) ?
Wir definieren die Funktion \(g(x)=x\) und die Funktion \(h(x)=e^x\).
Es ist \(f(x)=g(x)\cdot h(x)=x\cdot e^x\).
Es sind \(g'(x)=1\) und \(h'(x)=e^x\).
Die Ableitung von \(f\) lautet \(f'(x)=g'\cdot h+g\cdot h'=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(1+x)e^x\).
Die Produktregel ist unter anderem in folgender Schreibweise bekannt:\[(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\] Dabei sind \(u\) und \(v\) Funktionen.
Es ist \(f(x)=(x^3+1)\cdot x^2\) gegeben. Wie lautet \(f'(x)\) ?
Wir definieren die Funktion \(u=(x^3+1)\) und die Funktion \(v=x^2\).
Es ist \(f=u\cdot v=(x^3+1)x^2\).
Die Ableitunen lauten \(u'=3x^2\) und \(v'=2x\).
Nun können wir in die Formel \((u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\) einsetzen:
\(f'(x)=u'\cdot v+u\cdot v'=3x^2\cdot x^2+(x^3+1)\cdot 2x=3x^4+2x(x^3+1)\).
Zu den interaktiven Aufgaben → Produktregel - Übungsaufgaben
Weitere Ableitungsregeln sind
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