MathematikDie Quotientenregel ist eine Ableitungsregel und besagt, dass die Ableitungsfunktion der Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\), mit den differenzierbaren Funktionen \(g\) und \(h\neq 0\), durch \(f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^2}\) gegeben ist.
Aufgaben mit Lösungen
Es ist \(f(x)=\frac{x^3+1}{x}\) gegeben. Wie lautet \(f'(x)\) ?
Wir definieren die Funktion \(g(x)=x^3+1\) und die Funktion \(h(x)=x\).
Es ist \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} =\frac{x^3+1}{x}\).
Die Ableitung lauten \(h'(x)=1\) und \(g'(x)=3x^2\).
Nun können wir in die Formel \(f'(x)= \frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^2}\) einsetzen:
\(f'(x)= \frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^2}=\frac{3x^2x-(x^3+1)}{x^2}=\frac{2x^3-1}{x^2}\).
Es ist \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} =\frac{x^3+1}{x}\).
Die Ableitung lauten \(h'(x)=1\) und \(g'(x)=3x^2\).
Nun können wir in die Formel \(f'(x)= \frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^2}\) einsetzen:
\(f'(x)= \frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^2}=\frac{3x^2x-(x^3+1)}{x^2}=\frac{2x^3-1}{x^2}\).
Es ist \(f(x)=\frac{\ln (x)}{x}\) gegeben. Wie lautet \(f'(x)\) ?
Wir definieren die Funktion \(u=\ln (x)\) und die Funktion \(v=x\).
Es ist \(f(x)=\frac{u}{v}=\frac{\ln (x)}{x}\).
Die Ableitungen lauten \(u'=\frac{1}{x}\) und \(v'=1\).
Nun können wir in die Formel \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}\) einsetzen: \(f'(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln (x)}{x^2} =\frac{1-\ln (x)}{x^2}\).
Es ist \(f(x)=\frac{u}{v}=\frac{\ln (x)}{x}\).
Die Ableitungen lauten \(u'=\frac{1}{x}\) und \(v'=1\).
Nun können wir in die Formel \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}\) einsetzen: \(f'(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln (x)}{x^2} =\frac{1-\ln (x)}{x^2}\).
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