MathematikDie Kettenregel besagt, dass die Ableitungsfunktion der Funktion \(f(x)=g(h(x))\), mit den differenzierbaren Funktionen \(g\) und \(h\), durch \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\) gegeben ist. Der Ausdruck \(g'(h(x))\) wird als äußere Ableitung und der Ausdruck \(h'(x)\) wird als innere Ableitung bezeichnet. Dabei ist die Funktion \(f\) durch die Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) gegeben. Eine Verkettung kann als Verschachtelung von mehreren Funktionen betrachtet werden.
Aufgaben mit Lösungen
Es ist \(f(x)=(x^2-2x-1)^2\) gegeben. Wie lautet \(f'(x)\) ?
Wir definieren die Funktion \(g(h)=h^2\) und die Funktion \(h(x)=x^2-2x-1\).
Dann gilt \(f(x)=g(h(x)) =h(x)^2=(x^2-2x-1)^2\).
Die Ableitung der Funktion \(h\) lautet \(h'(x)=2x-2\) und die Ableitung der Funktion \(g\) lautet \(g'(h)=2h\).
Nun können wir in die Formel \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\) einsetzen.
Die Ableitung von \(f\) lautet \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=2h(x)\cdot h'(x)=2(x^2-2x-1)\cdot h'(x)=2(x^2-2x-1)\cdot (2x-2)\).
Dann gilt \(f(x)=g(h(x)) =h(x)^2=(x^2-2x-1)^2\).
Die Ableitung der Funktion \(h\) lautet \(h'(x)=2x-2\) und die Ableitung der Funktion \(g\) lautet \(g'(h)=2h\).
Nun können wir in die Formel \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\) einsetzen.
Die Ableitung von \(f\) lautet \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=2h(x)\cdot h'(x)=2(x^2-2x-1)\cdot h'(x)=2(x^2-2x-1)\cdot (2x-2)\).
Es ist \(f(x)=(x-1)^3\) gegeben. Wie lautet \(f'(x)\) ?
Wir definieren die Funktion \(g(h)=h^3\) und die Funktion \(h(x)=x-1\).
Dann gilt \(f(x)=g(h(x))=h(x)^3=(x-1)^3\).
Die Ableitung der Funktion \(h\) lautet \(h'(x)=1\) und die Ableitung der Funktion \(g\) lautet \(g'(h)=3h^2\).
Nun können wir in die Formel \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\) einsetzen.
Die Ableitung von \(f\) lautet \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=3h(x)^2\cdot h'(x)=3(x-1)^2\cdot h'(x)=3(x-1)^2\cdot 1=3(x-1)^2\).
Dann gilt \(f(x)=g(h(x))=h(x)^3=(x-1)^3\).
Die Ableitung der Funktion \(h\) lautet \(h'(x)=1\) und die Ableitung der Funktion \(g\) lautet \(g'(h)=3h^2\).
Nun können wir in die Formel \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\) einsetzen.
Die Ableitung von \(f\) lautet \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=3h(x)^2\cdot h'(x)=3(x-1)^2\cdot h'(x)=3(x-1)^2\cdot 1=3(x-1)^2\).
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