Skalarprodukt bzw. inneres Produkt

Ein Skalarprodukt bzw. inneres Produkt ist eine Multiplikation zweier Vektoren. Das Wort Skalarprodukt deutet bereits darauf hin, dass das Ergebnis, also das Produkt, ein Skalar (und kein Vektor!) ist. Voraussetzung für die Durchführbarkeit ist, dass beide Vektoren gleich viele Komponenten besitzen.
Für Vektoren mit zwei Komponenten ist das Skalarprodukt durch folgenden Rechenschritt gegeben \[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2\] Für Vektoren mit drei Komponenten ist das Skalarprodukt durch folgenden Rechenschritt gegeben \[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3\] Für Vektoren mit vier Komponenten ist das Skalarprodukt durch folgenden Rechenschritt gegeben \[\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3+a_4\cdot b_4\]

Beispiele und Aufgaben

Es ist \(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=3\cdot 2+7\cdot 1=13\) eine Zahl.
Es ist \(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}=2\cdot 4+1\cdot 3+(-1)\cdot 5=8+3-5=6\) eine Zahl.
Zu den interaktiven Aufgaben → Skalarprodukt - Übungsaufgaben

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