Vektoren addieren

Die Addition zweier Vektoren ist durch komponentenweises Addieren gegeben. Das Ergebnis ist wiederum ein Vektor. Man darf dabei nur Vektoren miteinander addieren, die gleich viele Komponenten haben.
Die Vektoraddition der beiden Vektoren \(\vec{A}=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}\) und \(\vec{B}=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}\) ist durch \[\vec{A}+\vec{B}=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\c+d\end{pmatrix}\] gegeben.
Wir sehen uns ein paar Beispiele an.

Beispiele und Aufgaben mit Lösungen

Es sind die beiden Vektoren \(\vec{A}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\) und \(\vec{B}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) gegeben. Wie lautet die Summe dieser beiden Vektoren?
\[\vec{A}+\vec{B}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+4\\5+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}\]
Es sind die beiden Vektoren \(\vec{A}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{B}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\) gegeben. Wie lautet die Summe der beiden Vektoren?
\[\vec{A}+\vec{B}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+(-1)\\2+(-1)\\3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}\]
Die Vektoren \(\vec{A}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\) und \(\vec{B}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\) können nicht addiert werden, da sie unterschiedlich viele Komponenten besitzen!

Addition von Vektoren durch Parallelverschiebung

Die geometrische Darstellung einer Addition zweier Vektoren wird durch eine Parallelverschiebung erreicht. Betrachten wir dazu die beiden Vektoren aus der ersten Aufgabe als Pfeile:
Darstellung zweier Vektoren
Um die Summe zweier Vektoren darzustellen, macht man geometrisch nichts anderes, als den Anfangspunkt einer der beiden Vektoren an den Endpunkt des anderen Vektors zu setzen. Dabei muss die Richtung des verschobenen Pfeils beibehalten werden. Dies wird Parallelverschiebung genannt. Die Summe ist dann der Pfeil, der vom Anfangspunkt des ersten Vektors direkt zum Endpunkt des zweiten Vektors (der beim Endpunkt des ersten Vektors startet) zeigt. Betrachte dazu die folgende Animation: Der Vektor \(\vec{A}\) wird solange parallel verschoben, bis er von der Spitze des Vektors \(\vec{B}\) startet.
Addition von Vektoren durch Parallelverschiebung
Welchen der beiden Vektoren man zum Endpunkt des anderen parallel verschiebt ist egal, es funktionieren beide Varianten! Betrachte dazu die folgende Animation: Der Vektor \(\vec{B}\) wird solange parallel verschoben, bis er von der Spitze des Vektors \(\vec{A}\) startet.
Addition von Vektoren durch Parallelverschiebung
Zu den interaktiven Aufgaben → Addition von Vektoren - Übungsaufgaben

Weiterführende Artikel:
Hat alles, was man braucht: Taschenrechner CASIO FX-991DE X *
Die mit Sternchen (*) gekennzeichneten Verweise sind sogenannte Provisions-Links. Für dich entstehen dabei keine Nachteile!