Skalarmultiplikation

Wir haben den Vektor \[\vec{Q}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\] gegeben und multiplizieren diesen mit einer Zahl: \[\vec{R}=3\cdot \vec{Q}=3\cdot \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \cdot 2\\3 \cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\] Macht diese Multiplikation Sinn? Wir können die Multiplikation in diesem Fall (da wir den Vektor \(\vec{Q}\) mit einer ganzen Zahl multiplizieren) auch als Vektoraddition umschreiben! \[\vec{R}=3\cdot \vec{Q} =\vec{Q}+\vec{Q}+\vec{Q}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2+2\\1+1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\] Überlegen wir uns dies geometrisch. In der folgenden Animation sind die Vektoren \(\vec{Q}\) und \(\vec{R}\) als Pfeile/Zeiger eingezeichnet: Wenn man den Pfeil/Zeiger der nach \(\vec{Q}\) zeigt, noch weitere zweimal aufzeichnet, also dreimal so lange als ursprünglich, dann ergeben die insgesamt drei Pfeile genau den Pfeil, der nach \(\vec{R}\) zeigt.
Das funktioniert nicht nur mit ganzen Zahlen, sondern auch mit reellen Zahlen oder auch mit komplexen Zahlen!

Die Skalarmultiplikation\[\color{blue}{2{,}5}\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{blue}{2{,}5}\cdot 2\\\color{blue}{2{,}5}\cdot 1\\\color{blue}{2{,}5}\cdot (-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2{,}5\\-2{,}5\end{pmatrix}\]Dabei ist \(\color{blue}{2{,}5}\) ein Skalar.

Die Skalarmultiplikation\[\color{blue}{-4}\cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\color{blue}{-4}\cdot (-1)\\\color{blue}{-4}\cdot (-2)\\\color{blue}{-4}\cdot (-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\\20\end{pmatrix}\]Dabei ist \(\color{blue}{-4}\) ein Skalar.