Binomialverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Versuchsreihe mit \(n\) unabhängigen Versuchen, bei denen jeweils nur zwei Ergebnisse auftreten können, nennt man Binomialverteilung. Wir nennen die zwei möglichen Ergebnisse "erfolgreich" und "nicht erfolgreich".

Jemand wirft eine Münze. Dann sind die beiden möglichen Ergebnisse "Kopf" und "Zahl".

Jemand wirft einen fairen Würfel. Dann sind die beiden möglichen Ergebnisse "Sechs" und "keine Sechs".

Sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch das Ergebnis "erfolgreich" zutrifft. Dann ist \(q=(1-p)\) die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch das Ergebnis "nicht erfolgreich" zutrifft.

Jemand wirft eine Münze. Dann ist \(p=0{,}5\) die Wahrscheinlichkeit "Kopf" zu werfen. Und \(q=1-p=0{,}5\) ist die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen.

Jemand wirft einen fairen Würfel. Dann ist \(p=\frac{1}{6}\) die Wahrscheinlichkeit "Sechs" zu würfeln. Und \(q=1-p=\frac{5}{6}\) ist die Wahrscheinlichkeit "keine Sechs" zu würfeln.

Eine Binomialverteilung kann mittels des Binomialkoeffizienten beschrieben werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass von \(n\) Versuchen genau \(k\) Versuche "erfolgreich" sind, ist durch \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}\] gegeben.

Jemand würfelt viermal mit einem fairen Würfel. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau dreimal die Augenzahl "Sechs" gewürfelt wird?

Es ist \(p=\frac{1}{6}\) die Wahrscheinlichkeit eine "Sechs" und \(q=1-p=\frac{5}{6}\) die Wahrscheinlichkeit "keine Sechs" zu würfeln.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal "Sechs" gewürfelt wird, durch \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}\] \[=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot \big(\frac{1}{6}\big)^3\cdot \big(\frac{5}{6}\big)^{4-3}\] \[=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot \frac{1}{6\cdot 6\cdot 6} \cdot \frac{5}{6}\] \[=\frac{4\cdot 5}{6\cdot 6\cdot 6\cdot 6}=\frac{5}{324}\approx 0{,}015\] gegeben. Das sind etwa 1,5 Pozent.

Erwartungswert, Standardabweichung und Varianz einer Binomialverteilung

Der Erwartungswert einer Binomialverteilung lautet \(E=\mu =n\cdot p\).
Die Varianz einer Binomialverteilung lautet \(n\cdot p\cdot q\).
Die Standardabweichung einer Binomialverteilung lautet \(s=\sqrt{n\cdot p\cdot q}\).

Beispiele und Aufgaben mit Lösung

Jemand wirft zehnmal eine Münze. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal "Kopf" geworfen wird? Wie lauten der Erwartungswert, die Standardabweichung und die Varianz?

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf "Kopf" geworfen wird lautet \(p=0{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit, dass "Zahl" geworfen wird lautet \(q=(1-p)=0{,}5\). Zehn Würfe bedeuten \(n=10\). Dreimal "Kopf" bedeutet \(k=3\). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal "Kopf" geworfen wird, durch \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}\] \[=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}\] \[=\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!} (0{,}5)^3 (1-0{,}5)^{10-3}\] \[=\frac{10!}{3!\cdot 7!} (0{,}5)^3 (0{,}5)^{7}\] \[=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{3!\cdot 7!} (0{,}5)^{10}\] \[=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{3!} (0{,}5)^{10}\] \[=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\] \[=4\cdot 3\cdot 10 \cdot \frac{1}{2^{10}}\] \[=3\cdot 5 \cdot \frac{1}{2^{7}}\] \[=\frac{15}{128}\] \[=0{,}1171875\] gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal "Kopf" geworfen wird, lautet also ungefähr \(11{,}72\%\).

Der Erwartungswert lautet \(E=\mu=n\cdot p=10\cdot 0{,}5=5\), also dass genau fünfmal "Kopf" geworfen wird.
Die Varianz lautet \(n\cdot p\cdot q=10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=2{,}5\).
Die Standardabweichung lautet \(s=\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{2{,}5}=1{,}58\).

Zu den interaktiven Aufgaben → Binomialverteilung - Übungsaufgaben

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