MathematikBei der Integration von Partialbrüchen geht es um die Integration gebrochenrationaler Funktionen. Das sind Funktionen die aus einer Division zweier Polynomfunktionen besteht. Wir sehen uns ein paar Typen von Partialbrüchen an. Dabei sind \(A\) und \(a\) beliebige reelle Zahlen. Es gilt \[\int \frac{A}{x-a}dx=A\cdot \ln |x-a| + c.\] Für natürliche Zahlen \(n>1\) gilt \[\int \frac{A}{(x-a)^n}dx=\frac{-A}{n-1}(x-a)^{-(n-1)}+c.\]
Wie lautet \(\int \frac{3}{x-4}dx\) ?
\[\int \frac{A}{x-a}dx=A\cdot \ln |x-a| + c.\] Es ist \(A=3\) und \(a=4\). Einsetzen ergibt \[\int \frac{3}{x-4}dx=3\cdot \ln |x-4| + c.\]
Wie lautet \(\int \frac{1}{(x+1)^2}dx\) ?
\[\int \frac{A}{(x-a)^n}dx =\frac{-A}{n-1}(x-a)^{-(n-1)}+c.\] Es ist \(A=1\), \(a=-1\) und \(n=2\). Einsetzen ergibt \[\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+c.\]
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