Substitution Integral

Die Substitutionsregel der Integrationsrechnung ist eine Integralregel. Sie besagt folgendes: Ist \(f\) eine stetige Funktion und ist \(g\) eine stetig differenzierbare Funktion, dann gilt mit der Substitution \(t=g(x)\) für das unbestimmte Integral \[\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt.\] Für das bestimmte Integral gilt \[\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(t)dt.\] Die Substitutionsregel kann aus der Kettenregel der Differentialrechnung hergeleitet werden.

Wie lautet \(\int \sin (2x)dx\) ?

Wir definieren \(f(t)=\sin (t)\) und substituieren \(t=g(x)=2x\).
Wir berechnen \(g'(x)=2\).
Wir setzen in die Substitutionsregel ein: \[\int f(g(x))\cdot g'(x) dx=\int \sin (2x)\cdot 2 dx=\int f(t)dt=\int \sin (t)dt=-\cos (\color{blue}{t})=-\cos (\color{blue}{2x}).\] Dabei wurde am Schluss wieder \(t=2x\) zurück-eingesetzt, also zurück-substituiert. Um das gesuchte Integral zu Lösen brauchen wir nur mehr Umformen: \[\int \sin (2x)\cdot 2dx=-\cos (2x).\] \[2\cdot \int \sin (2x)dx=-\cos (2x)\] Die Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) liefert das Ergebnis: \[\int \sin (2x)dx=-\frac{1}{2}\cdot \cos (2x)+c.\] Dabei ist \(c\) die sogenannte Integrationskonstante.

Wie lautet \(\int x\cdot \sin (x^2)dx\) ?

Wir definieren \(f(t)=\sin (t)\) und substituieren \(t=g(x)=x^2\).
Wir berechnen \(g'(x)=2x\).
Wir setzen in die Substitutionsregel ein: \[\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=\int \sin (x^2)\cdot 2xdx=\int f(t)dt=\int \sin (t)dt=-\cos (\color{blue}{t})=-\cos (\color{blue}{x^2}).\] Dabei wurde am Schluss wieder \(t=x^2\) zurück-substituiert. Um das gesuchte Integral zu Lösen brauchen wir nur mehr Umformen: \[\int \sin (x^2)\cdot 2xdx=-\cos (x^2).\] \[2\cdot \int x\cdot \sin (x^2)dx=-\cos (x^2)\] Die Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) liefert das Ergebnis: \[\int x\cdot\sin (x^2)dx=-\frac{1}{2}\cdot \cos (x^2)+c.\]

Zu den interaktiven Aufgaben → Substitutionsregel der Integration - Übungsaufgaben

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