Partielle Integration

Die Partielle Integration ist eine Integralregel. Sie besagt folgendes: Sind \(f\) und \(g\) zwei stetig differenzierbare Funktionen, dann gilt für das unbestimmte Integral \[\int f'(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)dx.\] Für das bestimmte Integral gilt \[\int_a^b f'(x)\cdot g(x) dx =f(x)g(x)|_a^b-\int_a^b f(x)g'(x)dx.\] Die Integrationsregel der partiellen Integration kann aus der Produktregel der Differentialrechnung hergeleitet werden.
Es ist \(h(x)=x\cdot \sin (x)\). Wie lautet \(\int h(x) dx\) ?
Wir wählen \(f'(x)=\sin (x)\) und \(g(x)=x\).
Es ist \(f(x)=\int f'(x)dx=-\cos (x)\) und \(g'(x)=1\).
Die Stammfunktion lautet \[H(x)=\int h(x)dx\] \[H(x)=\int x\cdot \sin (x)dx\] \[H(x)=\int f'(x)\cdot g(x) dx\] Wir wenden die Regel der partiellen Integration an. \[H(x)=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)dx\] Wir setzen ein und erhalten \[H(x)=-\cos (x)\cdot x-\int \big(-\cos (x)\big)\cdot 1\cdot dx\] \[H(x)=-\cos (x)\cdot x+\int \cos (x)dx\] Wir verwenden \((\sin(x))'=\cos (x)\). \[H(x)=-\cos (x)\cdot x+\sin (x)+c\] Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl, die sogenannte Integrationskonstante.
Zu den interaktiven Aufgaben → Partielle Integration - Übungsaufgaben
Weitere Integralregeln sind
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