Scheitelpunktform in allgemeine Form umwandeln

Ist eine quadratischen Funktion in der Scheitelpunktform gegeben und man möchte sie in die allgemeine Form umwandeln, so geht man wie folgt vor:
  1. Eine quadratische Funktion ist in der Scheitelpunktform \(f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\) gegeben.
  2. Ablesen der Parameter \(a, w\) und \(s\). Dabei auf Vorzeichen von \(w\) achten!
  3. Berechnen von \(b=-2\cdot a\cdot w\).
  4. Berechnen von \(c=a\cdot w^2+s\).
  5. Allgemeine Form hinschreiben: \(f(x)=a\cdot x^2 + b\cdot x + c\)
Es ist eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform \(f(x)=3\cdot (x-1)^2+4\) gegeben. Wie sieht die allgemeine Form der Funktion aus?
Es ist \(a=3\), \(w=1\) und \(s=4\).
Damit können wir \(b=-2aw=-2\cdot 3\cdot 1=-6\) und \(c=a\cdot w^2+s=3\cdot 1^2+4=7\) berechnen.
Die allgemeine Form lautet \(f(x)=3\cdot x^2-6x+7\).
Es gibt auch einen interaktiven Scheitelpunktform in allgemeine Form Rechner.

Herleitung der Umformung

\[f(x)=a\cdot (x-w)^2 + s\] \[f(x)=a\cdot (x^2-2xw+w^2) + s\] \[f(x)=ax^2-2axw+aw^2+s\] \[f(x)=a\cdot x^2 + \color{blue}{(-2aw)}\cdot x+\color{green}{(aw^2+s)}\] \[f(x)=a\cdot x^2 + \color{blue}{b}\cdot x+\color{green}{c}\] Damit gilt: \[b=-2aw\] und \[c=aw^2+s\]
Weiterführende Artikel:
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